Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24314 / 25389
↖ ↑ ↗
← S 69.828260°
E 87.121582°		 ← 421.24 m → S 69.828260°
E 87.132568°		 →
↑
421.25 m
↓
↑
421.25 m
↓
S 69.832048°
E 87.121582°		 ← 421.17 m →
177 433 m²		 S 69.832048°
E 87.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742019653320312 y=0.774826049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742019653320312 × 215)
    floor (0.742019653320312 × 32768)
    floor (24314.5)     		tx = 24314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774826049804688 × 215)
    floor (0.774826049804688 × 32768)
    floor (25389.5)     		ty = 25389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24314 / 25389 ti = "15/24314/25389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24314/25389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24314 ÷ 215
    24314 ÷ 32768     		x = 0.74200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25389 ÷ 215
    25389 ÷ 32768     		y = 0.774810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74200439453125 × 2 - 1) × π
    0.4840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52055846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.54962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72668712431442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52055846} λ = 1.52055846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72668712431442))-π/2
    2×atan(0.177872705117392)-π/2
    2×0.176031643029159-π/2
    0.352063286058318-1.57079632675     		φ = -1.21873304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52055846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.121582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21873304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.828260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24314 KachelY 25389 1.52055846 -1.21873304 87.121582 -69.828260
    Oben rechts KachelX + 1 24315 KachelY 25389 1.52075020 -1.21873304 87.132568 -69.828260
    Unten links KachelX 24314 KachelY + 1 25390 1.52055846 -1.21879916 87.121582 -69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 24315 KachelY + 1 25390 1.52075020 -1.21879916 87.132568 -69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21873304--1.21879916) × R
    6.61200000000584e-05 × 6371000     		dl = 421.250520000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21873304--1.21879916) × R
    6.61200000000584e-05 × 6371000     		dr = 421.250520000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52055846-1.52075020) × cos(-1.21873304) × R
    0.000191739999999996 × 0.344835271510304 × 6371000     		do = 421.242333006237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52055846-1.52075020) × cos(-1.21879916) × R
    0.000191739999999996 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 421.166515717971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21873304)-sin(-1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344835271510304-0.344773206344636)×R²
    abs(1.52075020-1.52055846)×6.20651656678683e-05×R²
    0.000191739999999996×6.20651656678683e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.20651656678683e-05×40589641000000     		ar = 177432.582853291m²