Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24313 / 25402
↖ ↑ ↗
← S 69.877452°
E 87.110596°		 ← 420.28 m → S 69.877452°
E 87.121582°		 →
↑
420.23 m
↓
↑
420.23 m
↓
S 69.881231°
E 87.110596°		 ← 420.20 m →
176 599 m²		 S 69.881231°
E 87.121582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.741989135742188 y=0.775222778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.741989135742188 × 215)
    floor (0.741989135742188 × 32768)
    floor (24313.5)     		tx = 24313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775222778320312 × 215)
    floor (0.775222778320312 × 32768)
    floor (25402.5)     		ty = 25402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24313 / 25402 ti = "15/24313/25402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24313/25402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24313 ÷ 215
    24313 ÷ 32768     		x = 0.741973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25402 ÷ 215
    25402 ÷ 32768     		y = 0.77520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.741973876953125 × 2 - 1) × π
    0.48394775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52036671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.5504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72917984309467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52036671} λ = 1.52036671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72917984309467))-π/2
    2×atan(0.177429870645058)-π/2
    2×0.175602356826973-π/2
    0.351204713653947-1.57079632675     		φ = -1.21959161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52036671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.110596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21959161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.877452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24313 KachelY 25402 1.52036671 -1.21959161 87.110596 -69.877452
    Oben rechts KachelX + 1 24314 KachelY 25402 1.52055846 -1.21959161 87.121582 -69.877452
    Unten links KachelX 24313 KachelY + 1 25403 1.52036671 -1.21965757 87.110596 -69.881231
    Unten rechts KachelX + 1 24314 KachelY + 1 25403 1.52055846 -1.21965757 87.121582 -69.881231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21959161--1.21965757) × R
    6.59600000001426e-05 × 6371000     		dl = 420.231160000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21959161--1.21965757) × R
    6.59600000001426e-05 × 6371000     		dr = 420.231160000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52036671-1.52055846) × cos(-1.21959161) × R
    0.000191749999999935 × 0.344029236434484 × 6371000     		do = 420.279618375753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52036671-1.52055846) × cos(-1.21965757) × R
    0.000191749999999935 × 0.343967301954688 × 6371000     		du = 420.203956784306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21959161)-sin(-1.21965757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344029236434484-0.343967301954688)×R²
    abs(1.52055846-1.52036671)×6.19344797960775e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19344797960775e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19344797960775e-05×40589641000000     		ar = 176598.693939455m²