Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2430 / 1788
↖ ↑ ↗
← N 22.268764°
E 33.574219°		 ← 9 044.08 m → N 22.268764°
E 33.662109°		 →
↑
9 046.69 m
↓
↑
9 046.69 m
↓
N 22.187405°
E 33.574219°		 ← 9 049.33 m →
81 842 795 m²		 N 22.187405°
E 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5933837890625 y=0.4366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5933837890625 × 212)
    floor (0.5933837890625 × 4096)
    floor (2430.5)     		tx = 2430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4366455078125 × 212)
    floor (0.4366455078125 × 4096)
    floor (1788.5)     		ty = 1788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2430 / 1788 ti = "12/2430/1788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2430/1788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2430 ÷ 212
    2430 ÷ 4096     		x = 0.59326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1788 ÷ 212
    1788 ÷ 4096     		y = 0.4365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58598066} λ = 0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398835004838867))-π/2
    2×atan(1.49008774105672)-π/2
    2×0.97972978980795-π/2
    1.9594595796159-1.57079632675     		φ = 0.38866325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38866325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.268764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2430 KachelY 1788 0.58598066 0.38866325 33.574219 22.268764
    Oben rechts KachelX + 1 2431 KachelY 1788 0.58751464 0.38866325 33.662109 22.268764
    Unten links KachelX 2430 KachelY + 1 1789 0.58598066 0.38724327 33.574219 22.187405
    Unten rechts KachelX + 1 2431 KachelY + 1 1789 0.58751464 0.38724327 33.662109 22.187405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38866325-0.38724327) × R
    0.00141998000000004 × 6371000     		dl = 9046.69258000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38866325-0.38724327) × R
    0.00141998000000004 × 6371000     		dr = 9046.69258000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58598066-0.58751464) × cos(0.38866325) × R
    0.00153397999999993 × 0.925416450209737 × 6371000     		do = 9044.08254881061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58598066-0.58751464) × cos(0.38724327) × R
    0.00153397999999993 × 0.925953620890592 × 6371000     		du = 9049.33231066578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38866325)-sin(0.38724327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925416450209737-0.925953620890592)×R²
    abs(0.58751464-0.58598066)×0.000537170680854793×R²
    0.00153397999999993×0.000537170680854793×6371000²
    0.00153397999999993×0.000537170680854793×40589641000000     		ar = 81842794.7299756m²