Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 243 / 299
↖ ↑ ↗
← S 28.921631°
W  9.140625°		 ← 68.433 km → S 28.921631°
W  8.437500°		 →
↑
68.229 km
↓
↑
68.229 km
↓
S 29.535229°
W  9.140625°		 ← 68.024 km →
4 655.21 km²		 S 29.535229°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4755859375 y=0.5849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4755859375 × 29)
    floor (0.4755859375 × 512)
    floor (243.5)     		tx = 243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5849609375 × 29)
    floor (0.5849609375 × 512)
    floor (299.5)     		ty = 299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 243 / 299 ti = "9/243/299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/243/299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 243 ÷ 29
    243 ÷ 512     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 299 ÷ 29
    299 ÷ 512     		y = 0.583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527689391017578))-π/2
    2×atan(0.589966578074895)-π/2
    2×0.533009317941028-π/2
    1.06601863588206-1.57079632675     		φ = -0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 243 KachelY 299 -0.15953400 -0.50477769 -9.140625 -28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 244 KachelY 299 -0.14726216 -0.50477769 -8.437500 -28.921631
    Unten links KachelX 243 KachelY + 1 300 -0.15953400 -0.51548700 -9.140625 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 244 KachelY + 1 300 -0.14726216 -0.51548700 -8.437500 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50477769--0.51548700) × R
    0.0107093100000001 × 6371000     		dl = 68229.0140100005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50477769--0.51548700) × R
    0.0107093100000001 × 6371000     		dr = 68229.0140100005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.14726216) × cos(-0.50477769) × R
    0.01227184 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 68432.9545456235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.14726216) × cos(-0.51548700) × R
    0.01227184 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 68024.1111593503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50477769)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.14726216--0.15953400)×0.00522925339821201×R²
    0.01227184×0.00522925339821201×6371000²
    0.01227184×0.00522925339821201×40589641000000     		ar = 4655210015.86535m²