Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 243 / 155
↖ ↑ ↗
← N 57.704147°
W  9.140625°		 ← 41.773 km → N 57.704147°
W  8.437500°		 →
↑
41.990 km
↓
↑
41.990 km
↓
N 57.326521°
W  9.140625°		 ← 42.208 km →
1 763.18 km²		 N 57.326521°
W  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4755859375 y=0.3037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4755859375 × 29)
    floor (0.4755859375 × 512)
    floor (243.5)     		tx = 243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3037109375 × 29)
    floor (0.3037109375 × 512)
    floor (155.5)     		ty = 155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 243 / 155 ti = "9/243/155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/243/155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 243 ÷ 29
    243 ÷ 512     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 155 ÷ 29
    155 ÷ 512     		y = 0.302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302734375 × 2 - 1) × π
    0.39453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23945647657617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23945647657617))-π/2
    2×atan(3.45373576823313)-π/2
    2×1.28896184403541-π/2
    2.57792368807082-1.57079632675     		φ = 1.00712736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00712736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.704147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 243 KachelY 155 -0.15953400 1.00712736 -9.140625 57.704147
    Oben rechts KachelX + 1 244 KachelY 155 -0.14726216 1.00712736 -8.437500 57.704147
    Unten links KachelX 243 KachelY + 1 156 -0.15953400 1.00053654 -9.140625 57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 244 KachelY + 1 156 -0.14726216 1.00053654 -8.437500 57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00712736-1.00053654) × R
    0.00659082 × 6371000     		dl = 41990.11422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00712736-1.00053654) × R
    0.00659082 × 6371000     		dr = 41990.11422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.14726216) × cos(1.00712736) × R
    0.01227184 × 0.534291166586826 × 6371000     		do = 41772.9632069248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.14726216) × cos(1.00053654) × R
    0.01227184 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 42207.6327104239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00712736)-sin(1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534291166586826-0.539850745277805)×R²
    abs(-0.14726216--0.15953400)×0.00555957869097889×R²
    0.01227184×0.00555957869097889×6371000²
    0.01227184×0.00555957869097889×40589641000000     		ar = 1763183789.98612m²