Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24293 / 41111
↖ ↑ ↗
← S 41.603121°
W 46.554566°		 ← 456.77 m → S 41.603121°
W 46.549072°		 →
↑
456.67 m
↓
↑
456.67 m
↓
S 41.607228°
W 46.554566°		 ← 456.74 m →
208 589 m²		 S 41.607228°
W 46.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370689392089844 y=0.627311706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370689392089844 × 216)
    floor (0.370689392089844 × 65536)
    floor (24293.5)     		tx = 24293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627311706542969 × 216)
    floor (0.627311706542969 × 65536)
    floor (41111.5)     		ty = 41111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24293 / 41111 ti = "16/24293/41111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24293/41111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24293 ÷ 216
    24293 ÷ 65536     		x = 0.370681762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41111 ÷ 216
    41111 ÷ 65536     		y = 0.627304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370681762695312 × 2 - 1) × π
    -0.258636474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.81253045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.254608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.799875107060257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81253045} λ = -0.81253045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799875107060257))-π/2
    2×atan(0.44938508563698)-π/2
    2×0.42234244518322-π/2
    0.84468489036644-1.57079632675     		φ = -0.72611144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81253045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.554566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72611144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.603121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24293 KachelY 41111 -0.81253045 -0.72611144 -46.554566 -41.603121
    Oben rechts KachelX + 1 24294 KachelY 41111 -0.81243457 -0.72611144 -46.549072 -41.603121
    Unten links KachelX 24293 KachelY + 1 41112 -0.81253045 -0.72618312 -46.554566 -41.607228
    Unten rechts KachelX + 1 24294 KachelY + 1 41112 -0.81243457 -0.72618312 -46.549072 -41.607228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72611144--0.72618312) × R
    7.16799999999074e-05 × 6371000     		dl = 456.67327999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72611144--0.72618312) × R
    7.16799999999074e-05 × 6371000     		dr = 456.67327999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81253045--0.81243457) × cos(-0.72611144) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747761924551316 × 6371000     		do = 456.771478300049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81253045--0.81243457) × cos(-0.72618312) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747714329479723 × 6371000     		du = 456.742404780126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72611144)-sin(-0.72618312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747761924551316-0.747714329479723)×R²
    abs(-0.81243457--0.81253045)×4.75950715930207e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75950715930207e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75950715930207e-05×40589641000000     		ar = 208588.690745164m²