Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24291 / 40550
↖ ↑ ↗
← S 39.257778°
W 46.565552°		 ← 472.99 m → S 39.257778°
W 46.560058°		 →
↑
472.92 m
↓
↑
472.92 m
↓
S 39.262031°
W 46.565552°		 ← 472.96 m →
223 678 m²		 S 39.262031°
W 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370658874511719 y=0.618751525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370658874511719 × 216)
    floor (0.370658874511719 × 65536)
    floor (24291.5)     		tx = 24291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618751525878906 × 216)
    floor (0.618751525878906 × 65536)
    floor (40550.5)     		ty = 40550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24291 / 40550 ti = "16/24291/40550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24291/40550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24291 ÷ 216
    24291 ÷ 65536     		x = 0.370651245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40550 ÷ 216
    40550 ÷ 65536     		y = 0.618743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370651245117188 × 2 - 1) × π
    -0.258697509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81272220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.23748779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.746089905686554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81272220} λ = -0.81272220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746089905686554))-π/2
    2×atan(0.474217166191504)-π/2
    2×0.442809420535737-π/2
    0.885618841071475-1.57079632675     		φ = -0.68517749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81272220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.565552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68517749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.257778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24291 KachelY 40550 -0.81272220 -0.68517749 -46.565552 -39.257778
    Oben rechts KachelX + 1 24292 KachelY 40550 -0.81262632 -0.68517749 -46.560058 -39.257778
    Unten links KachelX 24291 KachelY + 1 40551 -0.81272220 -0.68525172 -46.565552 -39.262031
    Unten rechts KachelX + 1 24292 KachelY + 1 40551 -0.81262632 -0.68525172 -46.560058 -39.262031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68517749--0.68525172) × R
    7.4230000000064e-05 × 6371000     		dl = 472.919330000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68517749--0.68525172) × R
    7.4230000000064e-05 × 6371000     		dr = 472.919330000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81272220--0.81262632) × cos(-0.68517749) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.774306741761569 × 6371000     		do = 472.986419178722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81272220--0.81262632) × cos(-0.68525172) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.774259766108421 × 6371000     		du = 472.957724031473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68517749)-sin(-0.68525172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774306741761569-0.774259766108421)×R²
    abs(-0.81262632--0.81272220)×4.69756531480403e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.69756531480403e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.69756531480403e-05×40589641000000     		ar = 223677.63531532m²