Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24290 / 40548
↖ ↑ ↗
← S 39.249271°
W 46.571045°		 ← 472.99 m → S 39.249271°
W 46.565552°		 →
↑
472.98 m
↓
↑
472.98 m
↓
S 39.253525°
W 46.571045°		 ← 472.97 m →
223 712 m²		 S 39.253525°
W 46.565552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370643615722656 y=0.618721008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370643615722656 × 216)
    floor (0.370643615722656 × 65536)
    floor (24290.5)     		tx = 24290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618721008300781 × 216)
    floor (0.618721008300781 × 65536)
    floor (40548.5)     		ty = 40548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24290 / 40548 ti = "16/24290/40548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24290/40548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24290 ÷ 216
    24290 ÷ 65536     		x = 0.370635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40548 ÷ 216
    40548 ÷ 65536     		y = 0.61871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.2374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.745898158088074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81281807} λ = -0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745898158088074))-π/2
    2×atan(0.474308104912641)-π/2
    2×0.442883660768894-π/2
    0.885767321537787-1.57079632675     		φ = -0.68502901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68502901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.249271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24290 KachelY 40548 -0.81281807 -0.68502901 -46.571045 -39.249271
    Oben rechts KachelX + 1 24291 KachelY 40548 -0.81272220 -0.68502901 -46.565552 -39.249271
    Unten links KachelX 24290 KachelY + 1 40549 -0.81281807 -0.68510325 -46.571045 -39.253525
    Unten rechts KachelX + 1 24291 KachelY + 1 40549 -0.81272220 -0.68510325 -46.565552 -39.253525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68502901--0.68510325) × R
    7.42400000000032e-05 × 6371000     		dl = 472.98304000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68502901--0.68510325) × R
    7.42400000000032e-05 × 6371000     		dr = 472.98304000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81281807--0.81272220) × cos(-0.68502901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774400692922009 × 6371000     		do = 472.994472316279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81281807--0.81272220) × cos(-0.68510325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774353719475744 × 6371000     		du = 472.965781509785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68502901)-sin(-0.68510325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774400692922009-0.774353719475744)×R²
    abs(-0.81272220--0.81281807)×4.69734462650306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69734462650306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69734462650306e-05×40589641000000     		ar = 223711.578390013m²