Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2429 / 1789
↖ ↑ ↗
← N 22.187405°
E 33.486328°		 ← 9 049.33 m → N 22.187405°
E 33.574219°		 →
↑
9 051.98 m
↓
↑
9 051.98 m
↓
N 22.105999°
E 33.486328°		 ← 9 054.57 m →
81 938 085 m²		 N 22.105999°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5931396484375 y=0.4368896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5931396484375 × 212)
    floor (0.5931396484375 × 4096)
    floor (2429.5)     		tx = 2429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4368896484375 × 212)
    floor (0.4368896484375 × 4096)
    floor (1789.5)     		ty = 1789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2429 / 1789 ti = "12/2429/1789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2429/1789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2429 ÷ 212
    2429 ÷ 4096     		x = 0.593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1789 ÷ 212
    1789 ÷ 4096     		y = 0.436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    0.18603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58444668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    0.12646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.397301024051025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58444668} λ = 0.58444668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397301024051025))-π/2
    2×atan(1.48780372735418)-π/2
    2×0.979019798178857-π/2
    1.95803959635771-1.57079632675     		φ = 0.38724327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58444668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38724327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2429 KachelY 1789 0.58444668 0.38724327 33.486328 22.187405
    Oben rechts KachelX + 1 2430 KachelY 1789 0.58598066 0.38724327 33.574219 22.187405
    Unten links KachelX 2429 KachelY + 1 1790 0.58444668 0.38582246 33.486328 22.105999
    Unten rechts KachelX + 1 2430 KachelY + 1 1790 0.58598066 0.38582246 33.574219 22.105999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38724327-0.38582246) × R
    0.00142080999999999 × 6371000     		dl = 9051.98050999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38724327-0.38582246) × R
    0.00142080999999999 × 6371000     		dr = 9051.98050999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58444668-0.58598066) × cos(0.38724327) × R
    0.00153398000000005 × 0.925953620890592 × 6371000     		do = 9049.33231066643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58444668-0.58598066) × cos(0.38582246) × R
    0.00153398000000005 × 0.926489236878441 × 6371000     		du = 9054.56687852772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38724327)-sin(0.38582246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925953620890592-0.926489236878441)×R²
    abs(0.58598066-0.58444668)×0.00053561598784968×R²
    0.00153398000000005×0.00053561598784968×6371000²
    0.00153398000000005×0.00053561598784968×40589641000000     		ar = 81938085.0918374m²