Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24288 / 40549
↖ ↑ ↗
← S 39.253525°
W 46.582031°		 ← 473.02 m → S 39.253525°
W 46.576538°		 →
↑
472.98 m
↓
↑
472.98 m
↓
S 39.257778°
W 46.582031°		 ← 472.99 m →
223 721 m²		 S 39.257778°
W 46.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370613098144531 y=0.618736267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370613098144531 × 216)
    floor (0.370613098144531 × 65536)
    floor (24288.5)     		tx = 24288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618736267089844 × 216)
    floor (0.618736267089844 × 65536)
    floor (40549.5)     		ty = 40549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24288 / 40549 ti = "16/24288/40549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24288/40549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24288 ÷ 216
    24288 ÷ 65536     		x = 0.37060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40549 ÷ 216
    40549 ÷ 65536     		y = 0.618728637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.237457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745994031887314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81300982} λ = -0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745994031887314))-π/2
    2×atan(0.474262633372412)-π/2
    2×0.44284653952638-π/2
    0.88569307905276-1.57079632675     		φ = -0.68510325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68510325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.253525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24288 KachelY 40549 -0.81300982 -0.68510325 -46.582031 -39.253525
    Oben rechts KachelX + 1 24289 KachelY 40549 -0.81291394 -0.68510325 -46.576538 -39.253525
    Unten links KachelX 24288 KachelY + 1 40550 -0.81300982 -0.68517749 -46.582031 -39.257778
    Unten rechts KachelX + 1 24289 KachelY + 1 40550 -0.81291394 -0.68517749 -46.576538 -39.257778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68510325--0.68517749) × R
    7.42399999998922e-05 × 6371000     		dl = 472.983039999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68510325--0.68517749) × R
    7.42399999998922e-05 × 6371000     		dr = 472.983039999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81300982--0.81291394) × cos(-0.68510325) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.774353719475744 × 6371000     		do = 473.015115585501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81300982--0.81291394) × cos(-0.68517749) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.774306741761569 × 6371000     		du = 472.98641917927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68510325)-sin(-0.68517749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774353719475744-0.774306741761569)×R²
    abs(-0.81291394--0.81300982)×4.69777141755001e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.69777141755001e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.69777141755001e-05×40589641000000     		ar = 223721.340981034m²