Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24286 / 40557
↖ ↑ ↗
← S 39.287546°
W 46.593018°		 ← 472.79 m → S 39.287546°
W 46.587524°		 →
↑
472.73 m
↓
↑
472.73 m
↓
S 39.291797°
W 46.593018°		 ← 472.76 m →
223 492 m²		 S 39.291797°
W 46.587524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370582580566406 y=0.618858337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370582580566406 × 216)
    floor (0.370582580566406 × 65536)
    floor (24286.5)     		tx = 24286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618858337402344 × 216)
    floor (0.618858337402344 × 65536)
    floor (40557.5)     		ty = 40557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24286 / 40557 ti = "16/24286/40557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24286/40557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24286 ÷ 216
    24286 ÷ 65536     		x = 0.370574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40557 ÷ 216
    40557 ÷ 65536     		y = 0.618850708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.25885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81320157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618850708007812 × 2 - 1) × π
    -0.237701416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.746761022281235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81320157} λ = -0.81320157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746761022281235))-π/2
    2×atan(0.473899017951013)-π/2
    2×0.442549650659321-π/2
    0.885099301318641-1.57079632675     		φ = -0.68569703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81320157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.593018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68569703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.287546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24286 KachelY 40557 -0.81320157 -0.68569703 -46.593018 -39.287546
    Oben rechts KachelX + 1 24287 KachelY 40557 -0.81310569 -0.68569703 -46.587524 -39.287546
    Unten links KachelX 24286 KachelY + 1 40558 -0.81320157 -0.68577123 -46.593018 -39.291797
    Unten rechts KachelX + 1 24287 KachelY + 1 40558 -0.81310569 -0.68577123 -46.587524 -39.291797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68569703--0.68577123) × R
    7.41999999999132e-05 × 6371000     		dl = 472.728199999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68569703--0.68577123) × R
    7.41999999999132e-05 × 6371000     		dr = 472.728199999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81320157--0.81310569) × cos(-0.68569703) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.773977866932374 × 6371000     		do = 472.785525503121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81320157--0.81310569) × cos(-0.68577123) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.773930880423084 × 6371000     		du = 472.756823724381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68569703)-sin(-0.68577123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773977866932374-0.773930880423084)×R²
    abs(-0.81310569--0.81320157)×4.69865092893595e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.69865092893595e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.69865092893595e-05×40589641000000     		ar = 223492.266489322m²