Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24283 / 40552
↖ ↑ ↗
← S 39.266285°
W 46.609497°		 ← 472.93 m → S 39.266285°
W 46.604004°		 →
↑
472.86 m
↓
↑
472.86 m
↓
S 39.270537°
W 46.609497°		 ← 472.90 m →
223 620 m²		 S 39.270537°
W 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370536804199219 y=0.618782043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370536804199219 × 216)
    floor (0.370536804199219 × 65536)
    floor (24283.5)     		tx = 24283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618782043457031 × 216)
    floor (0.618782043457031 × 65536)
    floor (40552.5)     		ty = 40552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24283 / 40552 ti = "16/24283/40552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24283/40552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24283 ÷ 216
    24283 ÷ 65536     		x = 0.370529174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40552 ÷ 216
    40552 ÷ 65536     		y = 0.6187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.370529174804688 × 2 - 1) × π
    -0.258941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81348919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.746281653285034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81348919} λ = -0.81348919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746281653285034))-π/2
    2×atan(0.474126244905976)-π/2
    2×0.442735189310336-π/2
    0.885470378620672-1.57079632675     		φ = -0.68532595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81348919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.609497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68532595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.266285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24283 KachelY 40552 -0.81348919 -0.68532595 -46.609497 -39.266285
    Oben rechts KachelX + 1 24284 KachelY 40552 -0.81339331 -0.68532595 -46.604004 -39.266285
    Unten links KachelX 24283 KachelY + 1 40553 -0.81348919 -0.68540017 -46.609497 -39.270537
    Unten rechts KachelX + 1 24284 KachelY + 1 40553 -0.81339331 -0.68540017 -46.604004 -39.270537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68532595--0.68540017) × R
    7.42200000000137e-05 × 6371000     		dl = 472.855620000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68532595--0.68540017) × R
    7.42200000000137e-05 × 6371000     		dr = 472.855620000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81348919--0.81339331) × cos(-0.68532595) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.77421278618903 × 6371000     		do = 472.929026278182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81348919--0.81339331) × cos(-0.68540017) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.774165808333483 × 6371000     		du = 472.900329785594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68532595)-sin(-0.68540017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77421278618903-0.774165808333483)×R²
    abs(-0.81339331--0.81348919)×4.69778555468592e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.69778555468592e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.69778555468592e-05×40589641000000     		ar = 223620.363390626m²