Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2427 / 2635
↖ ↑ ↗
← S 45.767523°
E 33.310547°		 ← 6 817.36 m → S 45.767523°
E 33.398438°		 →
↑
6 813.59 m
↓
↑
6 813.59 m
↓
S 45.828799°
E 33.310547°		 ← 6 809.86 m →
46 425 166 m²		 S 45.828799°
E 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5926513671875 y=0.6434326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5926513671875 × 212)
    floor (0.5926513671875 × 4096)
    floor (2427.5)     		tx = 2427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6434326171875 × 212)
    floor (0.6434326171875 × 4096)
    floor (2635.5)     		ty = 2635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2427 / 2635 ti = "12/2427/2635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2427/2635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2427 ÷ 212
    2427 ÷ 4096     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2635 ÷ 212
    2635 ÷ 4096     		y = 0.643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.28662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900446722463135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900446722463135))-π/2
    2×atan(0.406388076502439)-π/2
    2×0.386001180320613-π/2
    0.772002360641226-1.57079632675     		φ = -0.79879397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79879397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.767523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2427 KachelY 2635 0.58137872 -0.79879397 33.310547 -45.767523
    Oben rechts KachelX + 1 2428 KachelY 2635 0.58291270 -0.79879397 33.398438 -45.767523
    Unten links KachelX 2427 KachelY + 1 2636 0.58137872 -0.79986344 33.310547 -45.828799
    Unten rechts KachelX + 1 2428 KachelY + 1 2636 0.58291270 -0.79986344 33.398438 -45.828799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79879397--0.79986344) × R
    0.00106947000000002 × 6371000     		dl = 6813.59337000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79879397--0.79986344) × R
    0.00106947000000002 × 6371000     		dr = 6813.59337000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58291270) × cos(-0.79879397) × R
    0.00153397999999993 × 0.697571355420939 × 6371000     		do = 6817.35549512096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58291270) × cos(-0.79986344) × R
    0.00153397999999993 × 0.69680466499832 × 6371000     		du = 6809.86263990969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79879397)-sin(-0.79986344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697571355420939-0.69680466499832)×R²
    abs(0.58291270-0.58137872)×0.000766690422618677×R²
    0.00153397999999993×0.000766690422618677×6371000²
    0.00153397999999993×0.000766690422618677×40589641000000     		ar = 46425165.9931603m²