Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2427 / 1817
↖ ↑ ↗
← N 19.890723°
E 33.310547°		 ← 9 189.96 m → N 19.890723°
E 33.398438°		 →
↑
9 192.40 m
↓
↑
9 192.40 m
↓
N 19.808054°
E 33.310547°		 ← 9 194.75 m →
84 499 801 m²		 N 19.808054°
E 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5926513671875 y=0.4437255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5926513671875 × 212)
    floor (0.5926513671875 × 4096)
    floor (2427.5)     		tx = 2427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4437255859375 × 212)
    floor (0.4437255859375 × 4096)
    floor (1817.5)     		ty = 1817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2427 / 1817 ti = "12/2427/1817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2427/1817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2427 ÷ 212
    2427 ÷ 4096     		x = 0.592529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1817 ÷ 212
    1817 ÷ 4096     		y = 0.443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592529296875 × 2 - 1) × π
    0.18505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58137872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.354349561991455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58137872} λ = 0.58137872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354349561991455))-π/2
    2×atan(1.42525331379833)-π/2
    2×0.958977467078181-π/2
    1.91795493415636-1.57079632675     		φ = 0.34715861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58137872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34715861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.890723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2427 KachelY 1817 0.58137872 0.34715861 33.310547 19.890723
    Oben rechts KachelX + 1 2428 KachelY 1817 0.58291270 0.34715861 33.398438 19.890723
    Unten links KachelX 2427 KachelY + 1 1818 0.58137872 0.34571576 33.310547 19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 2428 KachelY + 1 1818 0.58291270 0.34571576 33.398438 19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34715861-0.34571576) × R
    0.00144285 × 6371000     		dl = 9192.39734999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34715861-0.34571576) × R
    0.00144285 × 6371000     		dr = 9192.39734999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58137872-0.58291270) × cos(0.34715861) × R
    0.00153397999999993 × 0.940343225928595 × 6371000     		do = 9189.96172759368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58137872-0.58291270) × cos(0.34571576) × R
    0.00153397999999993 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 9194.74968946282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34715861)-sin(0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940343225928595-0.940833143911184)×R²
    abs(0.58291270-0.58137872)×0.000489917982589128×R²
    0.00153397999999993×0.000489917982589128×6371000²
    0.00153397999999993×0.000489917982589128×40589641000000     		ar = 84499800.9147551m²