Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24265 / 25495
↖ ↑ ↗
← S 70.226028°
E 86.583252°		 ← 413.29 m → S 70.226028°
E 86.594238°		 →
↑
413.22 m
↓
↑
413.22 m
↓
S 70.229744°
E 86.583252°		 ← 413.22 m →
170 767 m²		 S 70.229744°
E 86.594238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740524291992188 y=0.778060913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740524291992188 × 215)
    floor (0.740524291992188 × 32768)
    floor (24265.5)     		tx = 24265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778060913085938 × 215)
    floor (0.778060913085938 × 32768)
    floor (25495.5)     		ty = 25495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24265 / 25495 ti = "15/24265/25495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24265/25495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24265 ÷ 215
    24265 ÷ 32768     		x = 0.740509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25495 ÷ 215
    25495 ÷ 32768     		y = 0.778045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740509033203125 × 2 - 1) × π
    0.48101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.51116282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.55609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74701236975333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51116282} λ = 1.51116282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74701236975333))-π/2
    2×atan(0.174293892060326)-π/2
    2×0.172560458447942-π/2
    0.345120916895885-1.57079632675     		φ = -1.22567541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51116282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.583252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22567541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.226028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24265 KachelY 25495 1.51116282 -1.22567541 86.583252 -70.226028
    Oben rechts KachelX + 1 24266 KachelY 25495 1.51135457 -1.22567541 86.594238 -70.226028
    Unten links KachelX 24265 KachelY + 1 25496 1.51116282 -1.22574027 86.583252 -70.229744
    Unten rechts KachelX + 1 24266 KachelY + 1 25496 1.51135457 -1.22574027 86.594238 -70.229744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22567541--1.22574027) × R
    6.48599999999444e-05 × 6371000     		dl = 413.223059999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22567541--1.22574027) × R
    6.48599999999444e-05 × 6371000     		dr = 413.223059999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51116282-1.51135457) × cos(-1.22567541) × R
    0.000191749999999935 × 0.338310466602634 × 6371000     		do = 413.293344687452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51116282-1.51135457) × cos(-1.22574027) × R
    0.000191749999999935 × 0.338249430390024 × 6371000     		du = 413.218780454456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22567541)-sin(-1.22574027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338310466602634-0.338249430390024)×R²
    abs(1.51135457-1.51116282)×6.10362126098885e-05×R²
    0.000191749999999935×6.10362126098885e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.10362126098885e-05×40589641000000     		ar = 170766.934798442m²