Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24264 / 27720
↖ ↑ ↗
← N 26.706360°
W 46.713867°		 ← 545.69 m → N 26.706360°
W 46.708374°		 →
↑
545.68 m
↓
↑
545.68 m
↓
N 26.701452°
W 46.713867°		 ← 545.71 m →
297 775 m²		 N 26.701452°
W 46.708374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.370246887207031 y=0.422981262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.370246887207031 × 216)
    floor (0.370246887207031 × 65536)
    floor (24264.5)     		tx = 24264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422981262207031 × 216)
    floor (0.422981262207031 × 65536)
    floor (27720.5)     		ty = 27720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24264 / 27720 ti = "16/24264/27720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24264/27720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24264 ÷ 216
    24264 ÷ 65536     		x = 0.3702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27720 ÷ 216
    27720 ÷ 65536     		y = 0.4229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.81531079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4229736328125 × 2 - 1) × π
    0.154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.483970938564087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81531079} λ = -0.81531079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483970938564087))-π/2
    2×atan(1.62250449265677)-π/2
    2×1.01845511876034-π/2
    2.03691023752069-1.57079632675     		φ = 0.46611391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81531079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46611391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.706360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24264 KachelY 27720 -0.81531079 0.46611391 -46.713867 26.706360
    Oben rechts KachelX + 1 24265 KachelY 27720 -0.81521491 0.46611391 -46.708374 26.706360
    Unten links KachelX 24264 KachelY + 1 27721 -0.81531079 0.46602826 -46.713867 26.701452
    Unten rechts KachelX + 1 24265 KachelY + 1 27721 -0.81521491 0.46602826 -46.708374 26.701452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46611391-0.46602826) × R
    8.56499999999927e-05 × 6371000     		dl = 545.676149999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46611391-0.46602826) × R
    8.56499999999927e-05 × 6371000     		dr = 545.676149999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81531079--0.81521491) × cos(0.46611391) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.893321508542434 × 6371000     		do = 545.68676560862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81531079--0.81521491) × cos(0.46602826) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.893359997931106 × 6371000     		du = 545.710276908655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46611391)-sin(0.46602826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893321508542434-0.893359997931106)×R²
    abs(-0.81521491--0.81531079)×3.84893886727911e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.84893886727911e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.84893886727911e-05×40589641000000     		ar = 297774.668322987m²