Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24263 / 25487
↖ ↑ ↗
← S 70.196272°
E 86.561279°		 ← 413.89 m → S 70.196272°
E 86.572266°		 →
↑
413.86 m
↓
↑
413.86 m
↓
S 70.199994°
E 86.561279°		 ← 413.82 m →
171 277 m²		 S 70.199994°
E 86.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740463256835938 y=0.777816772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740463256835938 × 215)
    floor (0.740463256835938 × 32768)
    floor (24263.5)     		tx = 24263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777816772460938 × 215)
    floor (0.777816772460938 × 32768)
    floor (25487.5)     		ty = 25487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24263 / 25487 ti = "15/24263/25487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24263/25487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24263 ÷ 215
    24263 ÷ 32768     		x = 0.740447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25487 ÷ 215
    25487 ÷ 32768     		y = 0.777801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740447998046875 × 2 - 1) × π
    0.48089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51077933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.55560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74547838896548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51077933} λ = 1.51077933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74547838896548))-π/2
    2×atan(0.174561460712303)-π/2
    2×0.17282012668862-π/2
    0.345640253377239-1.57079632675     		φ = -1.22515607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51077933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.561279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22515607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.196272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24263 KachelY 25487 1.51077933 -1.22515607 86.561279 -70.196272
    Oben rechts KachelX + 1 24264 KachelY 25487 1.51097108 -1.22515607 86.572266 -70.196272
    Unten links KachelX 24263 KachelY + 1 25488 1.51077933 -1.22522103 86.561279 -70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 24264 KachelY + 1 25488 1.51097108 -1.22522103 86.572266 -70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22515607--1.22522103) × R
    6.49600000000028e-05 × 6371000     		dl = 413.860160000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22515607--1.22522103) × R
    6.49600000000028e-05 × 6371000     		dr = 413.860160000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51077933-1.51097108) × cos(-1.22515607) × R
    0.000191749999999935 × 0.338799137841397 × 6371000     		do = 413.89032465307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51077933-1.51097108) × cos(-1.22522103) × R
    0.000191749999999935 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 413.815659408728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22515607)-sin(-1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338799137841397-0.3387380189437)×R²
    abs(1.51097108-1.51077933)×6.11188976963883e-05×R²
    0.000191749999999935×6.11188976963883e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.11188976963883e-05×40589641000000     		ar = 171277.265558628m²