Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24263 / 25461
↖ ↑ ↗
← S 70.099269°
E 86.561279°		 ← 415.84 m → S 70.099269°
E 86.572266°		 →
↑
415.84 m
↓
↑
415.84 m
↓
S 70.103008°
E 86.561279°		 ← 415.76 m →
172 904 m²		 S 70.103008°
E 86.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740463256835938 y=0.777023315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740463256835938 × 215)
    floor (0.740463256835938 × 32768)
    floor (24263.5)     		tx = 24263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777023315429688 × 215)
    floor (0.777023315429688 × 32768)
    floor (25461.5)     		ty = 25461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24263 / 25461 ti = "15/24263/25461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24263/25461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24263 ÷ 215
    24263 ÷ 32768     		x = 0.740447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25461 ÷ 215
    25461 ÷ 32768     		y = 0.777008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740447998046875 × 2 - 1) × π
    0.48089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51077933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.55401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.740492951405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51077933} λ = 1.51077933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.740492951405))-π/2
    2×atan(0.175433898911227)-π/2
    2×0.173666641026069-π/2
    0.347333282052138-1.57079632675     		φ = -1.22346304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51077933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.561279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22346304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.099269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24263 KachelY 25461 1.51077933 -1.22346304 86.561279 -70.099269
    Oben rechts KachelX + 1 24264 KachelY 25461 1.51097108 -1.22346304 86.572266 -70.099269
    Unten links KachelX 24263 KachelY + 1 25462 1.51077933 -1.22352831 86.561279 -70.103008
    Unten rechts KachelX + 1 24264 KachelY + 1 25462 1.51097108 -1.22352831 86.572266 -70.103008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22346304--1.22352831) × R
    6.52700000001172e-05 × 6371000     		dl = 415.835170000747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22346304--1.22352831) × R
    6.52700000001172e-05 × 6371000     		dr = 415.835170000747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51077933-1.51097108) × cos(-1.22346304) × R
    0.000191749999999935 × 0.340391553572587 × 6371000     		do = 415.835682212609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51077933-1.51097108) × cos(-1.22352831) × R
    0.000191749999999935 × 0.340330180525131 × 6371000     		du = 415.760706488945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22346304)-sin(-1.22352831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340391553572587-0.340330180525131)×R²
    abs(1.51097108-1.51077933)×6.13730474559593e-05×R²
    0.000191749999999935×6.13730474559593e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.13730474559593e-05×40589641000000     		ar = 172903.512895225m²