Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24258 / 25490
↖ ↑ ↗
← S 70.207436°
E 86.506348°		 ← 413.67 m → S 70.207436°
E 86.517334°		 →
↑
413.67 m
↓
↑
413.67 m
↓
S 70.211156°
E 86.506348°		 ← 413.59 m →
171 106 m²		 S 70.211156°
E 86.517334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740310668945312 y=0.777908325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740310668945312 × 215)
    floor (0.740310668945312 × 32768)
    floor (24258.5)     		tx = 24258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777908325195312 × 215)
    floor (0.777908325195312 × 32768)
    floor (25490.5)     		ty = 25490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24258 / 25490 ti = "15/24258/25490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24258/25490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24258 ÷ 215
    24258 ÷ 32768     		x = 0.74029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25490 ÷ 215
    25490 ÷ 32768     		y = 0.77789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74029541015625 × 2 - 1) × π
    0.4805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50982059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.5557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74605363176093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50982059} λ = 1.50982059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74605363176093))-π/2
    2×atan(0.174461074365696)-π/2
    2×0.172722707173769-π/2
    0.345445414347538-1.57079632675     		φ = -1.22535091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50982059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.506348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22535091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24258 KachelY 25490 1.50982059 -1.22535091 86.506348 -70.207436
    Oben rechts KachelX + 1 24259 KachelY 25490 1.51001234 -1.22535091 86.517334 -70.207436
    Unten links KachelX 24258 KachelY + 1 25491 1.50982059 -1.22541584 86.506348 -70.211156
    Unten rechts KachelX + 1 24259 KachelY + 1 25491 1.51001234 -1.22541584 86.517334 -70.211156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22535091--1.22541584) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dl = 413.669029999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22535091--1.22541584) × R
    6.49299999999631e-05 × 6371000     		dr = 413.669029999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50982059-1.51001234) × cos(-1.22535091) × R
    0.000191750000000157 × 0.338615814497333 × 6371000     		do = 413.666369661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50982059-1.51001234) × cos(-1.22541584) × R
    0.000191750000000157 × 0.33855471954147 × 6371000     		du = 413.59173366494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22535091)-sin(-1.22541584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338615814497333-0.33855471954147)×R²
    abs(1.51001234-1.50982059)×6.10949558632612e-05×R²
    0.000191750000000157×6.10949558632612e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.10949558632612e-05×40589641000000     		ar = 171105.52864165m²