Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2425 / 1815
↖ ↑ ↗
← N 20.055932°
E 33.134766°		 ← 9 180.34 m → N 20.055932°
E 33.222656°		 →
↑
9 182.78 m
↓
↑
9 182.78 m
↓
N 19.973349°
E 33.134766°		 ← 9 185.16 m →
84 323 130 m²		 N 19.973349°
E 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5921630859375 y=0.4432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5921630859375 × 212)
    floor (0.5921630859375 × 4096)
    floor (2425.5)     		tx = 2425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4432373046875 × 212)
    floor (0.4432373046875 × 4096)
    floor (1815.5)     		ty = 1815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2425 / 1815 ti = "12/2425/1815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2425/1815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2425 ÷ 212
    2425 ÷ 4096     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1815 ÷ 212
    1815 ÷ 4096     		y = 0.443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    0.11376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.357417523567139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357417523567139))-π/2
    2×atan(1.42963265058417)-π/2
    2×0.960419180958308-π/2
    1.92083836191662-1.57079632675     		φ = 0.35004204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35004204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.055932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2425 KachelY 1815 0.57831076 0.35004204 33.134766 20.055932
    Oben rechts KachelX + 1 2426 KachelY 1815 0.57984474 0.35004204 33.222656 20.055932
    Unten links KachelX 2425 KachelY + 1 1816 0.57831076 0.34860070 33.134766 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 2426 KachelY + 1 1816 0.57984474 0.34860070 33.222656 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35004204-0.34860070) × R
    0.00144134000000001 × 6371000     		dl = 9182.77714000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35004204-0.34860070) × R
    0.00144134000000001 × 6371000     		dr = 9182.77714000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57984474) × cos(0.35004204) × R
    0.00153397999999993 × 0.939358296593452 × 6371000     		do = 9180.33602641908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57984474) × cos(0.34860070) × R
    0.00153397999999993 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 9185.15717101749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35004204)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939358296593452-0.939851609928014)×R²
    abs(0.57984474-0.57831076)×0.000493313334562262×R²
    0.00153397999999993×0.000493313334562262×6371000²
    0.00153397999999993×0.000493313334562262×40589641000000     		ar = 84323130.147294m²