Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24249 / 25475
↖ ↑ ↗
← S 70.151558°
E 86.407471°		 ← 414.79 m → S 70.151558°
E 86.418457°		 →
↑
414.75 m
↓
↑
414.75 m
↓
S 70.155288°
E 86.407471°		 ← 414.71 m →
172 018 m²		 S 70.155288°
E 86.418457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740036010742188 y=0.777450561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740036010742188 × 215)
    floor (0.740036010742188 × 32768)
    floor (24249.5)     		tx = 24249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777450561523438 × 215)
    floor (0.777450561523438 × 32768)
    floor (25475.5)     		ty = 25475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24249 / 25475 ti = "15/24249/25475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24249/25475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24249 ÷ 215
    24249 ÷ 32768     		x = 0.740020751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25475 ÷ 215
    25475 ÷ 32768     		y = 0.777435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740020751953125 × 2 - 1) × π
    0.48004150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50809486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.55487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74317741778372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50809486} λ = 1.50809486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74317741778372))-π/2
    2×atan(0.174963584062549)-π/2
    2×0.173210332395252-π/2
    0.346420664790504-1.57079632675     		φ = -1.22437566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50809486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.407471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22437566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.151558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24249 KachelY 25475 1.50809486 -1.22437566 86.407471 -70.151558
    Oben rechts KachelX + 1 24250 KachelY 25475 1.50828661 -1.22437566 86.418457 -70.151558
    Unten links KachelX 24249 KachelY + 1 25476 1.50809486 -1.22444076 86.407471 -70.155288
    Unten rechts KachelX + 1 24250 KachelY + 1 25476 1.50828661 -1.22444076 86.418457 -70.155288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22437566--1.22444076) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dl = 414.752100000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22437566--1.22444076) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dr = 414.752100000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50809486-1.50828661) × cos(-1.22437566) × R
    0.000191750000000157 × 0.339533290154945 × 6371000     		do = 414.787193935259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50809486-1.50828661) × cos(-1.22444076) × R
    0.000191750000000157 × 0.339472056763622 × 6371000     		du = 414.712388821009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22437566)-sin(-1.22444076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339533290154945-0.339472056763622)×R²
    abs(1.50828661-1.50809486)×6.12333913225238e-05×R²
    0.000191750000000157×6.12333913225238e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.12333913225238e-05×40589641000000     		ar = 172018.347008729m²