Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24240 / 27119
↖ ↑ ↗
← N 29.616446°
W 46.845703°		 ← 530.99 m → N 29.616446°
W 46.840210°		 →
↑
531.02 m
↓
↑
531.02 m
↓
N 29.611670°
W 46.845703°		 ← 531.02 m →
281 975 m²		 N 29.611670°
W 46.840210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369880676269531 y=0.413810729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369880676269531 × 216)
    floor (0.369880676269531 × 65536)
    floor (24240.5)     		tx = 24240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413810729980469 × 216)
    floor (0.413810729980469 × 65536)
    floor (27119.5)     		ty = 27119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24240 / 27119 ti = "16/24240/27119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24240/27119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24240 ÷ 216
    24240 ÷ 65536     		x = 0.369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27119 ÷ 216
    27119 ÷ 65536     		y = 0.413803100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.26025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81761176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413803100585938 × 2 - 1) × π
    0.172393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.541591091907394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81761176} λ = -0.81761176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541591091907394))-π/2
    2×atan(1.71873936006749)-π/2
    2×1.04385040873333-π/2
    2.08770081746666-1.57079632675     		φ = 0.51690449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81761176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51690449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.616446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24240 KachelY 27119 -0.81761176 0.51690449 -46.845703 29.616446
    Oben rechts KachelX + 1 24241 KachelY 27119 -0.81751589 0.51690449 -46.840210 29.616446
    Unten links KachelX 24240 KachelY + 1 27120 -0.81761176 0.51682114 -46.845703 29.611670
    Unten rechts KachelX + 1 24241 KachelY + 1 27120 -0.81751589 0.51682114 -46.840210 29.611670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51690449-0.51682114) × R
    8.33500000000376e-05 × 6371000     		dl = 531.022850000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51690449-0.51682114) × R
    8.33500000000376e-05 × 6371000     		dr = 531.022850000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81761176--0.81751589) × cos(0.51690449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869353116859349 × 6371000     		do = 530.990251589059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81761176--0.81751589) × cos(0.51682114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869394304694246 × 6371000     		du = 531.015408614887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51690449)-sin(0.51682114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869353116859349-0.869394304694246)×R²
    abs(-0.81751589--0.81761176)×4.11878348969275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11878348969275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11878348969275e-05×40589641000000     		ar = 281974.636362188m²