Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24230 / 25399
↖ ↑ ↗
← S 69.866110°
E 86.198731°		 ← 420.51 m → S 69.866110°
E 86.209717°		 →
↑
420.49 m
↓
↑
420.49 m
↓
S 69.869892°
E 86.198731°		 ← 420.43 m →
176 801 m²		 S 69.869892°
E 86.209717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739456176757812 y=0.775131225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739456176757812 × 215)
    floor (0.739456176757812 × 32768)
    floor (24230.5)     		tx = 24230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775131225585938 × 215)
    floor (0.775131225585938 × 32768)
    floor (25399.5)     		ty = 25399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24230 / 25399 ti = "15/24230/25399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24230/25399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24230 ÷ 215
    24230 ÷ 32768     		x = 0.73944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25399 ÷ 215
    25399 ÷ 32768     		y = 0.775115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73944091796875 × 2 - 1) × π
    0.4788818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50445166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.55023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72860460029922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50445166} λ = 1.50445166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72860460029922))-π/2
    2×atan(0.177531965261623)-π/2
    2×0.175701333723077-π/2
    0.351402667446153-1.57079632675     		φ = -1.21939366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50445166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.198731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21939366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.866110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24230 KachelY 25399 1.50445166 -1.21939366 86.198731 -69.866110
    Oben rechts KachelX + 1 24231 KachelY 25399 1.50464341 -1.21939366 86.209717 -69.866110
    Unten links KachelX 24230 KachelY + 1 25400 1.50445166 -1.21945966 86.198731 -69.869892
    Unten rechts KachelX + 1 24231 KachelY + 1 25400 1.50464341 -1.21945966 86.209717 -69.869892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21939366--1.21945966) × R
    6.60000000001215e-05 × 6371000     		dl = 420.486000000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21939366--1.21945966) × R
    6.60000000001215e-05 × 6371000     		dr = 420.486000000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50445166-1.50464341) × cos(-1.21939366) × R
    0.000191749999999935 × 0.3442150966145 × 6371000     		do = 420.506672466672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50445166-1.50464341) × cos(-1.21945966) × R
    0.000191749999999935 × 0.344153129070886 × 6371000     		du = 420.430970483168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21939366)-sin(-1.21945966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3442150966145-0.344153129070886)×R²
    abs(1.50464341-1.50445166)×6.19675436133171e-05×R²
    0.000191749999999935×6.19675436133171e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.19675436133171e-05×40589641000000     		ar = 176801.252931885m²