Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24229 / 25503
↖ ↑ ↗
← S 70.255741°
E 86.187744°		 ← 412.70 m → S 70.255741°
E 86.198731°		 →
↑
412.65 m
↓
↑
412.65 m
↓
S 70.259452°
E 86.187744°		 ← 412.62 m →
170 284 m²		 S 70.259452°
E 86.198731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739425659179688 y=0.778305053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739425659179688 × 215)
    floor (0.739425659179688 × 32768)
    floor (24229.5)     		tx = 24229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778305053710938 × 215)
    floor (0.778305053710938 × 32768)
    floor (25503.5)     		ty = 25503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24229 / 25503 ti = "15/24229/25503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24229/25503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24229 ÷ 215
    24229 ÷ 32768     		x = 0.739410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25503 ÷ 215
    25503 ÷ 32768     		y = 0.778289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739410400390625 × 2 - 1) × π
    0.47882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50425991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.55657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74854635054117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50425991} λ = 1.50425991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74854635054117))-π/2
    2×atan(0.174026733538874)-π/2
    2×0.172301164775441-π/2
    0.344602329550882-1.57079632675     		φ = -1.22619400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50425991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.187744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22619400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.255741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24229 KachelY 25503 1.50425991 -1.22619400 86.187744 -70.255741
    Oben rechts KachelX + 1 24230 KachelY 25503 1.50445166 -1.22619400 86.198731 -70.255741
    Unten links KachelX 24229 KachelY + 1 25504 1.50425991 -1.22625877 86.187744 -70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 24230 KachelY + 1 25504 1.50445166 -1.22625877 86.198731 -70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22619400--1.22625877) × R
    6.47700000000473e-05 × 6371000     		dl = 412.649670000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22619400--1.22625877) × R
    6.47700000000473e-05 × 6371000     		dr = 412.649670000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50425991-1.50445166) × cos(-1.22619400) × R
    0.000191749999999935 × 0.337822410024289 × 6371000     		do = 412.697115615126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50425991-1.50445166) × cos(-1.22625877) × R
    0.000191749999999935 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 412.622640978091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22619400)-sin(-1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337822410024289-0.337761447152447)×R²
    abs(1.50445166-1.50425991)×6.09628718422073e-05×R²
    0.000191749999999935×6.09628718422073e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.09628718422073e-05×40589641000000     		ar = 170283.962661128m²