Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24229 / 25370
↖ ↑ ↗
← S 69.756156°
E 86.187744°		 ← 422.71 m → S 69.756156°
E 86.198731°		 →
↑
422.65 m
↓
↑
422.65 m
↓
S 69.759957°
E 86.187744°		 ← 422.63 m →
178 642 m²		 S 69.759957°
E 86.198731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739425659179688 y=0.774246215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739425659179688 × 215)
    floor (0.739425659179688 × 32768)
    floor (24229.5)     		tx = 24229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774246215820312 × 215)
    floor (0.774246215820312 × 32768)
    floor (25370.5)     		ty = 25370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24229 / 25370 ti = "15/24229/25370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24229/25370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24229 ÷ 215
    24229 ÷ 32768     		x = 0.739410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25370 ÷ 215
    25370 ÷ 32768     		y = 0.77423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739410400390625 × 2 - 1) × π
    0.47882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50425991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.5484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7230439199433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50425991} λ = 1.50425991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7230439199433))-π/2
    2×atan(0.178521913615724)-π/2
    2×0.176660870831618-π/2
    0.353321741663235-1.57079632675     		φ = -1.21747459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50425991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.187744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21747459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.756156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24229 KachelY 25370 1.50425991 -1.21747459 86.187744 -69.756156
    Oben rechts KachelX + 1 24230 KachelY 25370 1.50445166 -1.21747459 86.198731 -69.756156
    Unten links KachelX 24229 KachelY + 1 25371 1.50425991 -1.21754093 86.187744 -69.759957
    Unten rechts KachelX + 1 24230 KachelY + 1 25371 1.50445166 -1.21754093 86.198731 -69.759957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21747459--1.21754093) × R
    6.63400000000536e-05 × 6371000     		dl = 422.652140000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21747459--1.21754093) × R
    6.63400000000536e-05 × 6371000     		dr = 422.652140000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50425991-1.50445166) × cos(-1.21747459) × R
    0.000191749999999935 × 0.346016258867176 × 6371000     		do = 422.70704297016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50425991-1.50445166) × cos(-1.21754093) × R
    0.000191749999999935 × 0.345954016026049 × 6371000     		du = 422.631004672408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21747459)-sin(-1.21754093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346016258867176-0.345954016026049)×R²
    abs(1.50445166-1.50425991)×6.2242841126714e-05×R²
    0.000191749999999935×6.2242841126714e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.2242841126714e-05×40589641000000     		ar = 178641.967495332m²