Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24226 / 25504
↖ ↑ ↗
← S 70.259452°
E 86.154785°		 ← 412.60 m → S 70.259452°
E 86.165771°		 →
↑
412.59 m
↓
↑
412.59 m
↓
S 70.263163°
E 86.154785°		 ← 412.53 m →
170 218 m²		 S 70.263163°
E 86.165771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739334106445312 y=0.778335571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739334106445312 × 215)
    floor (0.739334106445312 × 32768)
    floor (24226.5)     		tx = 24226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778335571289062 × 215)
    floor (0.778335571289062 × 32768)
    floor (25504.5)     		ty = 25504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24226 / 25504 ti = "15/24226/25504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24226/25504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24226 ÷ 215
    24226 ÷ 32768     		x = 0.73931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25504 ÷ 215
    25504 ÷ 32768     		y = 0.7783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73931884765625 × 2 - 1) × π
    0.4786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50368467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50368467} λ = 1.50368467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74873809813965))-π/2
    2×atan(0.173993367529675)-π/2
    2×0.172268779379758-π/2
    0.344537558759516-1.57079632675     		φ = -1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50368467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24226 KachelY 25504 1.50368467 -1.22625877 86.154785 -70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 24227 KachelY 25504 1.50387641 -1.22625877 86.165771 -70.259452
    Unten links KachelX 24226 KachelY + 1 25505 1.50368467 -1.22632353 86.154785 -70.263163
    Unten rechts KachelX + 1 24227 KachelY + 1 25505 1.50387641 -1.22632353 86.165771 -70.263163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22625877--1.22632353) × R
    6.4759999999886e-05 × 6371000     		dl = 412.585959999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22625877--1.22632353) × R
    6.4759999999886e-05 × 6371000     		dr = 412.585959999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50368467-1.50387641) × cos(-1.22625877) × R
    0.000191739999999996 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 412.601122196423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50368467-1.50387641) × cos(-1.22632353) × R
    0.000191739999999996 × 0.337700492276181 × 6371000     		du = 412.526661210532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22625877)-sin(-1.22632353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.337700492276181)×R²
    abs(1.50387641-1.50368467)×6.09548762667278e-05×R²
    0.000191739999999996×6.09548762667278e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.09548762667278e-05×40589641000000     		ar = 170218.069378484m²