Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24225 / 28103
↖ ↑ ↗
← N 24.811667°
W 46.928101°		 ← 554.47 m → N 24.811667°
W 46.922607°		 →
↑
554.40 m
↓
↑
554.40 m
↓
N 24.806682°
W 46.928101°		 ← 554.49 m →
307 404 m²		 N 24.806682°
W 46.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369651794433594 y=0.428825378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369651794433594 × 216)
    floor (0.369651794433594 × 65536)
    floor (24225.5)     		tx = 24225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428825378417969 × 216)
    floor (0.428825378417969 × 65536)
    floor (28103.5)     		ty = 28103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24225 / 28103 ti = "16/24225/28103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24225/28103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24225 ÷ 216
    24225 ÷ 65536     		x = 0.369644165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28103 ÷ 216
    28103 ÷ 65536     		y = 0.428817749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369644165039062 × 2 - 1) × π
    -0.260711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81904987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428817749023438 × 2 - 1) × π
    0.142364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447251273455124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81904987} λ = -0.81904987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447251273455124))-π/2
    2×atan(1.56400724342003)-π/2
    2×1.00192080926818-π/2
    2.00384161853636-1.57079632675     		φ = 0.43304529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81904987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.928101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43304529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.811667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24225 KachelY 28103 -0.81904987 0.43304529 -46.928101 24.811667
    Oben rechts KachelX + 1 24226 KachelY 28103 -0.81895399 0.43304529 -46.922607 24.811667
    Unten links KachelX 24225 KachelY + 1 28104 -0.81904987 0.43295827 -46.928101 24.806682
    Unten rechts KachelX + 1 24226 KachelY + 1 28104 -0.81895399 0.43295827 -46.922607 24.806682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43304529-0.43295827) × R
    8.70200000000487e-05 × 6371000     		dl = 554.40442000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43304529-0.43295827) × R
    8.70200000000487e-05 × 6371000     		dr = 554.40442000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81904987--0.81895399) × cos(0.43304529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.907692044375102 × 6371000     		do = 554.465028690393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81904987--0.81895399) × cos(0.43295827) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.907728557743918 × 6371000     		du = 554.487332935774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43304529)-sin(0.43295827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907692044375102-0.907728557743918)×R²
    abs(-0.81895399--0.81904987)×3.65133688166042e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65133688166042e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65133688166042e-05×40589641000000     		ar = 307404.045621739m²