Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24223 / 25369
↖ ↑ ↗
← S 69.752354°
E 86.121826°		 ← 422.78 m → S 69.752354°
E 86.132812°		 →
↑
422.78 m
↓
↑
422.78 m
↓
S 69.756156°
E 86.121826°		 ← 422.71 m →
178 728 m²		 S 69.756156°
E 86.132812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739242553710938 y=0.774215698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739242553710938 × 215)
    floor (0.739242553710938 × 32768)
    floor (24223.5)     		tx = 24223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774215698242188 × 215)
    floor (0.774215698242188 × 32768)
    floor (25369.5)     		ty = 25369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24223 / 25369 ti = "15/24223/25369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24223/25369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24223 ÷ 215
    24223 ÷ 32768     		x = 0.739227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25369 ÷ 215
    25369 ÷ 32768     		y = 0.774200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739227294921875 × 2 - 1) × π
    0.47845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50310942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.54840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72285217234482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50310942} λ = 1.50310942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72285217234482))-π/2
    2×atan(0.178556148046016)-π/2
    2×0.176694047709589-π/2
    0.353388095419178-1.57079632675     		φ = -1.21740823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50310942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.121826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21740823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.752354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24223 KachelY 25369 1.50310942 -1.21740823 86.121826 -69.752354
    Oben rechts KachelX + 1 24224 KachelY 25369 1.50330117 -1.21740823 86.132812 -69.752354
    Unten links KachelX 24223 KachelY + 1 25370 1.50310942 -1.21747459 86.121826 -69.756156
    Unten rechts KachelX + 1 24224 KachelY + 1 25370 1.50330117 -1.21747459 86.132812 -69.756156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21740823--1.21747459) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dl = 422.779559999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21740823--1.21747459) × R
    6.6359999999932e-05 × 6371000     		dr = 422.779559999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50310942-1.50330117) × cos(-1.21740823) × R
    0.000191750000000157 × 0.346078518949598 × 6371000     		do = 422.783102331044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50310942-1.50330117) × cos(-1.21747459) × R
    0.000191750000000157 × 0.346016258867176 × 6371000     		du = 422.707042970649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21740823)-sin(-1.21747459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346078518949598-0.346016258867176)×R²
    abs(1.50330117-1.50310942)×6.22600824217168e-05×R²
    0.000191750000000157×6.22600824217168e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.22600824217168e-05×40589641000000     		ar = 178727.975872491m²