Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24221 / 25366
↖ ↑ ↗
← S 69.740944°
E 86.099854°		 ← 423.01 m → S 69.740944°
E 86.110840°		 →
↑
422.97 m
↓
↑
422.97 m
↓
S 69.744748°
E 86.099854°		 ← 422.94 m →
178 905 m²		 S 69.744748°
E 86.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739181518554688 y=0.774124145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739181518554688 × 215)
    floor (0.739181518554688 × 32768)
    floor (24221.5)     		tx = 24221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774124145507812 × 215)
    floor (0.774124145507812 × 32768)
    floor (25366.5)     		ty = 25366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24221 / 25366 ti = "15/24221/25366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24221/25366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24221 ÷ 215
    24221 ÷ 32768     		x = 0.739166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25366 ÷ 215
    25366 ÷ 32768     		y = 0.77410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739166259765625 × 2 - 1) × π
    0.47833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50272593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.5482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72227692954938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50272593} λ = 1.50272593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72227692954938))-π/2
    2×atan(0.178658890731922)-π/2
    2×0.176793614161292-π/2
    0.353587228322584-1.57079632675     		φ = -1.21720910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50272593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.099854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21720910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.740944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24221 KachelY 25366 1.50272593 -1.21720910 86.099854 -69.740944
    Oben rechts KachelX + 1 24222 KachelY 25366 1.50291768 -1.21720910 86.110840 -69.740944
    Unten links KachelX 24221 KachelY + 1 25367 1.50272593 -1.21727549 86.099854 -69.744748
    Unten rechts KachelX + 1 24222 KachelY + 1 25367 1.50291768 -1.21727549 86.110840 -69.744748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21720910--1.21727549) × R
    6.63899999999717e-05 × 6371000     		dl = 422.97068999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21720910--1.21727549) × R
    6.63899999999717e-05 × 6371000     		dr = 422.97068999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50272593-1.50291768) × cos(-1.21720910) × R
    0.000191749999999935 × 0.346265336958547 × 6371000     		do = 423.011326542893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50272593-1.50291768) × cos(-1.21727549) × R
    0.000191749999999935 × 0.346203053305334 × 6371000     		du = 422.935238387495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21720910)-sin(-1.21727549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346265336958547-0.346203053305334)×R²
    abs(1.50291768-1.50272593)×6.2283653212869e-05×R²
    0.000191749999999935×6.2283653212869e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.2283653212869e-05×40589641000000     		ar = 178905.301201932m²