Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24210 / 28091
↖ ↑ ↗
← N 24.871487°
W 47.010498°		 ← 554.14 m → N 24.871487°
W 47.005005°		 →
↑
554.21 m
↓
↑
554.21 m
↓
N 24.866502°
W 47.010498°		 ← 554.16 m →
307 118 m²		 N 24.866502°
W 47.005005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369422912597656 y=0.428642272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369422912597656 × 216)
    floor (0.369422912597656 × 65536)
    floor (24210.5)     		tx = 24210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428642272949219 × 216)
    floor (0.428642272949219 × 65536)
    floor (28091.5)     		ty = 28091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24210 / 28091 ti = "16/24210/28091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24210/28091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24210 ÷ 216
    24210 ÷ 65536     		x = 0.369415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28091 ÷ 216
    28091 ÷ 65536     		y = 0.428634643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.26116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82048797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428634643554688 × 2 - 1) × π
    0.142730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448401759046005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82048797} λ = -0.82048797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448401759046005))-π/2
    2×atan(1.56580764668804)-π/2
    2×1.0024428264604-π/2
    2.00488565292079-1.57079632675     		φ = 0.43408933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82048797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43408933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.871487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24210 KachelY 28091 -0.82048797 0.43408933 -47.010498 24.871487
    Oben rechts KachelX + 1 24211 KachelY 28091 -0.82039210 0.43408933 -47.005005 24.871487
    Unten links KachelX 24210 KachelY + 1 28092 -0.82048797 0.43400234 -47.010498 24.866502
    Unten rechts KachelX + 1 24211 KachelY + 1 28092 -0.82039210 0.43400234 -47.005005 24.866502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43408933-0.43400234) × R
    8.6990000000009e-05 × 6371000     		dl = 554.213290000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43408933-0.43400234) × R
    8.6990000000009e-05 × 6371000     		dr = 554.213290000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82048797--0.82039210) × cos(0.43408933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907253432013868 × 6371000     		do = 554.139300564585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82048797--0.82039210) × cos(0.43400234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90729001521523 × 6371000     		du = 554.161645136564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43408933)-sin(0.43400234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907253432013868-0.90729001521523)×R²
    abs(-0.82039210--0.82048797)×3.65832013623502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65832013623502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65832013623502e-05×40589641000000     		ar = 307117.55690726m²