Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24210 / 28047
↖ ↑ ↗
← N 25.090574°
W 47.010498°		 ← 553.15 m → N 25.090574°
W 47.005005°		 →
↑
553.13 m
↓
↑
553.13 m
↓
N 25.085599°
W 47.010498°		 ← 553.18 m →
305 972 m²		 N 25.085599°
W 47.005005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369422912597656 y=0.427970886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369422912597656 × 216)
    floor (0.369422912597656 × 65536)
    floor (24210.5)     		tx = 24210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427970886230469 × 216)
    floor (0.427970886230469 × 65536)
    floor (28047.5)     		ty = 28047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24210 / 28047 ti = "16/24210/28047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24210/28047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24210 ÷ 216
    24210 ÷ 65536     		x = 0.369415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28047 ÷ 216
    28047 ÷ 65536     		y = 0.427963256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.26116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82048797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427963256835938 × 2 - 1) × π
    0.144073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.45262020621257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82048797} λ = -0.82048797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45262020621257))-π/2
    2×atan(1.57242687513542)-π/2
    2×1.00435472557373-π/2
    2.00870945114746-1.57079632675     		φ = 0.43791312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82048797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43791312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24210 KachelY 28047 -0.82048797 0.43791312 -47.010498 25.090574
    Oben rechts KachelX + 1 24211 KachelY 28047 -0.82039210 0.43791312 -47.005005 25.090574
    Unten links KachelX 24210 KachelY + 1 28048 -0.82048797 0.43782630 -47.010498 25.085599
    Unten rechts KachelX + 1 24211 KachelY + 1 28048 -0.82039210 0.43782630 -47.005005 25.085599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43791312-0.43782630) × R
    8.68199999999875e-05 × 6371000     		dl = 553.13021999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43791312-0.43782630) × R
    8.68199999999875e-05 × 6371000     		dr = 553.13021999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82048797--0.82039210) × cos(0.43791312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905638576998774 × 6371000     		do = 553.152966871043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82048797--0.82039210) × cos(0.43782630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905675389643908 × 6371000     		du = 553.175451584471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43791312)-sin(0.43782630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905638576998774-0.905675389643908)×R²
    abs(-0.82039210--0.82048797)×3.68126451332218e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68126451332218e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68126451332218e-05×40589641000000     		ar = 305971.840938329m²