Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24210 / 25401
↖ ↑ ↗
← S 69.873672°
E 85.979004°		 ← 420.33 m → S 69.873672°
E 85.989990°		 →
↑
420.29 m
↓
↑
420.29 m
↓
S 69.877452°
E 85.979004°		 ← 420.26 m →
176 648 m²		 S 69.877452°
E 85.989990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738845825195312 y=0.775192260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738845825195312 × 215)
    floor (0.738845825195312 × 32768)
    floor (24210.5)     		tx = 24210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775192260742188 × 215)
    floor (0.775192260742188 × 32768)
    floor (25401.5)     		ty = 25401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24210 / 25401 ti = "15/24210/25401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24210/25401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24210 ÷ 215
    24210 ÷ 32768     		x = 0.73883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25401 ÷ 215
    25401 ÷ 32768     		y = 0.775177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73883056640625 × 2 - 1) × π
    0.4776611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50061671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.55035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72898809549619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50061671} λ = 1.50061671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72898809549619))-π/2
    2×atan(0.177463895658656)-π/2
    2×0.175635343186008-π/2
    0.351270686372015-1.57079632675     		φ = -1.21952564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50061671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.979004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21952564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.873672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24210 KachelY 25401 1.50061671 -1.21952564 85.979004 -69.873672
    Oben rechts KachelX + 1 24211 KachelY 25401 1.50080845 -1.21952564 85.989990 -69.873672
    Unten links KachelX 24210 KachelY + 1 25402 1.50061671 -1.21959161 85.979004 -69.877452
    Unten rechts KachelX + 1 24211 KachelY + 1 25402 1.50080845 -1.21959161 85.989990 -69.877452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21952564--1.21959161) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dl = 420.294869999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21952564--1.21959161) × R
    6.59699999998598e-05 × 6371000     		dr = 420.294869999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50061671-1.50080845) × cos(-1.21952564) × R
    0.000191739999999996 × 0.344091178806867 × 6371000     		do = 420.333367560226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50061671-1.50080845) × cos(-1.21959161) × R
    0.000191739999999996 × 0.344029236434484 × 6371000     		du = 420.257700273233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21952564)-sin(-1.21959161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344091178806867-0.344029236434484)×R²
    abs(1.50080845-1.50061671)×6.19423723827728e-05×R²
    0.000191739999999996×6.19423723827728e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.19423723827728e-05×40589641000000     		ar = 176648.05685249m²