Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24210 / 25398
↖ ↑ ↗
← S 69.862328°
E 85.979004°		 ← 420.56 m → S 69.862328°
E 85.989990°		 →
↑
420.55 m
↓
↑
420.55 m
↓
S 69.866110°
E 85.979004°		 ← 420.48 m →
176 851 m²		 S 69.866110°
E 85.989990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738845825195312 y=0.775100708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738845825195312 × 215)
    floor (0.738845825195312 × 32768)
    floor (24210.5)     		tx = 24210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775100708007812 × 215)
    floor (0.775100708007812 × 32768)
    floor (25398.5)     		ty = 25398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24210 / 25398 ti = "15/24210/25398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24210/25398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24210 ÷ 215
    24210 ÷ 32768     		x = 0.73883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25398 ÷ 215
    25398 ÷ 32768     		y = 0.77508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73883056640625 × 2 - 1) × π
    0.4776611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50061671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.5501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72841285270074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50061671} λ = 1.50061671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72841285270074))-π/2
    2×atan(0.177566009853496)-π/2
    2×0.175734337902963-π/2
    0.351468675805925-1.57079632675     		φ = -1.21932765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50061671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.979004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21932765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.862328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24210 KachelY 25398 1.50061671 -1.21932765 85.979004 -69.862328
    Oben rechts KachelX + 1 24211 KachelY 25398 1.50080845 -1.21932765 85.989990 -69.862328
    Unten links KachelX 24210 KachelY + 1 25399 1.50061671 -1.21939366 85.979004 -69.866110
    Unten rechts KachelX + 1 24211 KachelY + 1 25399 1.50080845 -1.21939366 85.989990 -69.866110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21932765--1.21939366) × R
    6.60099999998387e-05 × 6371000     		dl = 420.549709998972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21932765--1.21939366) × R
    6.60099999998387e-05 × 6371000     		dr = 420.549709998972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50061671-1.50080845) × cos(-1.21932765) × R
    0.000191739999999996 × 0.344277072047393 × 6371000     		do = 420.560450195903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50061671-1.50080845) × cos(-1.21939366) × R
    0.000191739999999996 × 0.3442150966145 × 6371000     		du = 420.484742523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21932765)-sin(-1.21939366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344277072047393-0.3442150966145)×R²
    abs(1.50080845-1.50061671)×6.19754328930466e-05×R²
    0.000191739999999996×6.19754328930466e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.19754328930466e-05×40589641000000     		ar = 176850.656011239m²