Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2421 / 1845
↖ ↑ ↗
← N 17.560247°
E 32.783203°		 ← 9 317.57 m → N 17.560247°
E 32.871093°		 →
↑
9 319.75 m
↓
↑
9 319.75 m
↓
N 17.476432°
E 32.783203°		 ← 9 321.87 m →
86 857 504 m²		 N 17.476432°
E 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5911865234375 y=0.4505615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5911865234375 × 212)
    floor (0.5911865234375 × 4096)
    floor (2421.5)     		tx = 2421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4505615234375 × 212)
    floor (0.4505615234375 × 4096)
    floor (1845.5)     		ty = 1845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2421 / 1845 ti = "12/2421/1845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2421/1845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2421 ÷ 212
    2421 ÷ 4096     		x = 0.591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1845 ÷ 212
    1845 ÷ 4096     		y = 0.450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591064453125 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57217483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    0.09912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311398099931885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57217483} λ = 0.57217483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311398099931885))-π/2
    2×atan(1.36533265184483)-π/2
    2×0.938640222865364-π/2
    1.87728044573073-1.57079632675     		φ = 0.30648412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57217483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30648412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.560247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2421 KachelY 1845 0.57217483 0.30648412 32.783203 17.560247
    Oben rechts KachelX + 1 2422 KachelY 1845 0.57370881 0.30648412 32.871093 17.560247
    Unten links KachelX 2421 KachelY + 1 1846 0.57217483 0.30502128 32.783203 17.476432
    Unten rechts KachelX + 1 2422 KachelY + 1 1846 0.57370881 0.30502128 32.871093 17.476432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30648412-0.30502128) × R
    0.00146284000000002 × 6371000     		dl = 9319.75364000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30648412-0.30502128) × R
    0.00146284000000002 × 6371000     		dr = 9319.75364000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57217483-0.57370881) × cos(0.30648412) × R
    0.00153397999999993 × 0.95340023114688 × 6371000     		do = 9317.56766436696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57217483-0.57370881) × cos(0.30502128) × R
    0.00153397999999993 × 0.95384056211299 × 6371000     		du = 9321.87101298951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30648412)-sin(0.30502128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95340023114688-0.95384056211299)×R²
    abs(0.57370881-0.57217483)×0.000440330966109959×R²
    0.00153397999999993×0.000440330966109959×6371000²
    0.00153397999999993×0.000440330966109959×40589641000000     		ar = 86857503.7192947m²