Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24207 / 25365
↖ ↑ ↗
← S 69.737140°
E 85.946045°		 ← 423.09 m → S 69.737140°
E 85.957031°		 →
↑
423.03 m
↓
↑
423.03 m
↓
S 69.740944°
E 85.946045°		 ← 423.01 m →
178 964 m²		 S 69.740944°
E 85.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738754272460938 y=0.774093627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738754272460938 × 215)
    floor (0.738754272460938 × 32768)
    floor (24207.5)     		tx = 24207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774093627929688 × 215)
    floor (0.774093627929688 × 32768)
    floor (25365.5)     		ty = 25365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24207 / 25365 ti = "15/24207/25365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24207/25365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24207 ÷ 215
    24207 ÷ 32768     		x = 0.738739013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25365 ÷ 215
    25365 ÷ 32768     		y = 0.774078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738739013671875 × 2 - 1) × π
    0.47747802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50004146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.54815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7220851819509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50004146} λ = 1.50004146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7220851819509))-π/2
    2×atan(0.178693151429766)-π/2
    2×0.176826814920881-π/2
    0.353653629841763-1.57079632675     		φ = -1.21714270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50004146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.946045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21714270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.737140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24207 KachelY 25365 1.50004146 -1.21714270 85.946045 -69.737140
    Oben rechts KachelX + 1 24208 KachelY 25365 1.50023321 -1.21714270 85.957031 -69.737140
    Unten links KachelX 24207 KachelY + 1 25366 1.50004146 -1.21720910 85.946045 -69.740944
    Unten rechts KachelX + 1 24208 KachelY + 1 25366 1.50023321 -1.21720910 85.957031 -69.740944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21714270--1.21720910) × R
    6.6400000000133e-05 × 6371000     		dl = 423.034400000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21714270--1.21720910) × R
    6.6400000000133e-05 × 6371000     		dr = 423.034400000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50004146-1.50023321) × cos(-1.21714270) × R
    0.000191749999999935 × 0.346327628466686 × 6371000     		do = 423.087424294177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50004146-1.50023321) × cos(-1.21720910) × R
    0.000191749999999935 × 0.346265336958547 × 6371000     		du = 423.011326542893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21714270)-sin(-1.21720910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346327628466686-0.346265336958547)×R²
    abs(1.50023321-1.50004146)×6.22915081390785e-05×R²
    0.000191749999999935×6.22915081390785e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.22915081390785e-05×40589641000000     		ar = 178964.438766256m²