Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24205 / 28055
↖ ↑ ↗
← N 25.050769°
W 47.037964°		 ← 553.33 m → N 25.050769°
W 47.032471°		 →
↑
553.39 m
↓
↑
553.39 m
↓
N 25.045792°
W 47.037964°		 ← 553.36 m →
306 212 m²		 N 25.045792°
W 47.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369346618652344 y=0.428092956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369346618652344 × 216)
    floor (0.369346618652344 × 65536)
    floor (24205.5)     		tx = 24205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428092956542969 × 216)
    floor (0.428092956542969 × 65536)
    floor (28055.5)     		ty = 28055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24205 / 28055 ti = "16/24205/28055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24205/28055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24205 ÷ 216
    24205 ÷ 65536     		x = 0.369338989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28055 ÷ 216
    28055 ÷ 65536     		y = 0.428085327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369338989257812 × 2 - 1) × π
    -0.261322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82096734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428085327148438 × 2 - 1) × π
    0.143829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451853215818649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82096734} λ = -0.82096734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451853215818649))-π/2
    2×atan(1.57122130121795)-π/2
    2×1.00400736107211-π/2
    2.00801472214422-1.57079632675     		φ = 0.43721840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82096734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43721840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.050769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24205 KachelY 28055 -0.82096734 0.43721840 -47.037964 25.050769
    Oben rechts KachelX + 1 24206 KachelY 28055 -0.82087147 0.43721840 -47.032471 25.050769
    Unten links KachelX 24205 KachelY + 1 28056 -0.82096734 0.43713154 -47.037964 25.045792
    Unten rechts KachelX + 1 24206 KachelY + 1 28056 -0.82087147 0.43713154 -47.032471 25.045792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43721840-0.43713154) × R
    8.68600000000219e-05 × 6371000     		dl = 553.38506000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43721840-0.43713154) × R
    8.68600000000219e-05 × 6371000     		dr = 553.38506000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82096734--0.82087147) × cos(0.43721840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905932954743528 × 6371000     		do = 553.332769197298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82096734--0.82087147) × cos(0.43713154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905969729688246 × 6371000     		du = 553.355230883774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43721840)-sin(0.43713154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905932954743528-0.905969729688246)×R²
    abs(-0.82087147--0.82096734)×3.67749447179877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67749447179877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67749447179877e-05×40589641000000     		ar = 306212.302855741m²