Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24205 / 25361
↖ ↑ ↗
← S 69.721915°
E 85.924072°		 ← 423.39 m → S 69.721915°
E 85.935059°		 →
↑
423.35 m
↓
↑
423.35 m
↓
S 69.725722°
E 85.924072°		 ← 423.32 m →
179 228 m²		 S 69.725722°
E 85.935059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738693237304688 y=0.773971557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738693237304688 × 215)
    floor (0.738693237304688 × 32768)
    floor (24205.5)     		tx = 24205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773971557617188 × 215)
    floor (0.773971557617188 × 32768)
    floor (25361.5)     		ty = 25361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24205 / 25361 ti = "15/24205/25361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24205/25361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24205 ÷ 215
    24205 ÷ 32768     		x = 0.738677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25361 ÷ 215
    25361 ÷ 32768     		y = 0.773956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738677978515625 × 2 - 1) × π
    0.47735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.49965797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773956298828125 × 2 - 1) × π
    -0.54791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72131819155698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49965797} λ = 1.49965797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72131819155698))-π/2
    2×atan(0.178830259934103)-π/2
    2×0.176959677695761-π/2
    0.353919355391522-1.57079632675     		φ = -1.21687697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49965797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.924072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21687697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.721915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24205 KachelY 25361 1.49965797 -1.21687697 85.924072 -69.721915
    Oben rechts KachelX + 1 24206 KachelY 25361 1.49984972 -1.21687697 85.935059 -69.721915
    Unten links KachelX 24205 KachelY + 1 25362 1.49965797 -1.21694342 85.924072 -69.725722
    Unten rechts KachelX + 1 24206 KachelY + 1 25362 1.49984972 -1.21694342 85.935059 -69.725722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21687697--1.21694342) × R
    6.64500000000512e-05 × 6371000     		dl = 423.352950000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21687697--1.21694342) × R
    6.64500000000512e-05 × 6371000     		dr = 423.352950000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49965797-1.49984972) × cos(-1.21687697) × R
    0.000191750000000157 × 0.346576901169855 × 6371000     		do = 423.391945612812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49965797-1.49984972) × cos(-1.21694342) × R
    0.000191750000000157 × 0.346514568871904 × 6371000     		du = 423.315798031093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21687697)-sin(-1.21694342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346576901169855-0.346514568871904)×R²
    abs(1.49984972-1.49965797)×6.23322979502738e-05×R²
    0.000191750000000157×6.23322979502738e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.23322979502738e-05×40589641000000     		ar = 179228.110596365m²