Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24204 / 25363
↖ ↑ ↗
← S 69.729529°
E 85.913086°		 ← 423.24 m → S 69.729529°
E 85.924072°		 →
↑
423.16 m
↓
↑
423.16 m
↓
S 69.733334°
E 85.913086°		 ← 423.16 m →
179 083 m²		 S 69.733334°
E 85.924072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738662719726562 y=0.774032592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738662719726562 × 215)
    floor (0.738662719726562 × 32768)
    floor (24204.5)     		tx = 24204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774032592773438 × 215)
    floor (0.774032592773438 × 32768)
    floor (25363.5)     		ty = 25363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24204 / 25363 ti = "15/24204/25363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24204/25363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24204 ÷ 215
    24204 ÷ 32768     		x = 0.7386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25363 ÷ 215
    25363 ÷ 32768     		y = 0.774017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7386474609375 × 2 - 1) × π
    0.477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.49946622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.54803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72170168675394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49946622} λ = 1.49946622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72170168675394))-π/2
    2×atan(0.178761692536821)-π/2
    2×0.176893234359161-π/2
    0.353786468718322-1.57079632675     		φ = -1.21700986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49946622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.913086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21700986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.729529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24204 KachelY 25363 1.49946622 -1.21700986 85.913086 -69.729529
    Oben rechts KachelX + 1 24205 KachelY 25363 1.49965797 -1.21700986 85.924072 -69.729529
    Unten links KachelX 24204 KachelY + 1 25364 1.49946622 -1.21707628 85.913086 -69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 24205 KachelY + 1 25364 1.49965797 -1.21707628 85.924072 -69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21700986--1.21707628) × R
    6.64199999997894e-05 × 6371000     		dl = 423.161819998658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21700986--1.21707628) × R
    6.64199999997894e-05 × 6371000     		dr = 423.161819998658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49946622-1.49965797) × cos(-1.21700986) × R
    0.000191749999999935 × 0.346452244424559 × 6371000     		do = 423.239660039492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49946622-1.49965797) × cos(-1.21707628) × R
    0.000191749999999935 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 423.163543100252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21700986)-sin(-1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346452244424559-0.346389937209692)×R²
    abs(1.49965797-1.49946622)×6.23072148670523e-05×R²
    0.000191749999999935×6.23072148670523e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.23072148670523e-05×40589641000000     		ar = 179082.760012447m²