Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24202 / 28049
↖ ↑ ↗
← N 25.080624°
W 47.054443°		 ← 553.20 m → N 25.080624°
W 47.048950°		 →
↑
553.19 m
↓
↑
553.19 m
↓
N 25.075649°
W 47.054443°		 ← 553.22 m →
306 032 m²		 N 25.075649°
W 47.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369300842285156 y=0.428001403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369300842285156 × 216)
    floor (0.369300842285156 × 65536)
    floor (24202.5)     		tx = 24202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428001403808594 × 216)
    floor (0.428001403808594 × 65536)
    floor (28049.5)     		ty = 28049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24202 / 28049 ti = "16/24202/28049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24202/28049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24202 ÷ 216
    24202 ÷ 65536     		x = 0.369293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28049 ÷ 216
    28049 ÷ 65536     		y = 0.427993774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.26141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82125496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427993774414062 × 2 - 1) × π
    0.144012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.45242845861409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82125496} λ = -0.82125496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45242845861409))-π/2
    2×atan(1.5721253949633)-π/2
    2×1.00426789503315-π/2
    2.00853579006631-1.57079632675     		φ = 0.43773946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82125496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43773946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.080624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24202 KachelY 28049 -0.82125496 0.43773946 -47.054443 25.080624
    Oben rechts KachelX + 1 24203 KachelY 28049 -0.82115909 0.43773946 -47.048950 25.080624
    Unten links KachelX 24202 KachelY + 1 28050 -0.82125496 0.43765263 -47.054443 25.075649
    Unten rechts KachelX + 1 24203 KachelY + 1 28050 -0.82115909 0.43765263 -47.048950 25.075649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43773946-0.43765263) × R
    8.68300000000377e-05 × 6371000     		dl = 553.19393000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43773946-0.43765263) × R
    8.68300000000377e-05 × 6371000     		dr = 553.19393000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82125496--0.82115909) × cos(0.43773946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905712203940183 × 6371000     		do = 553.197937306398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82125496--0.82115909) × cos(0.43765263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90574900716817 × 6371000     		du = 553.220416267949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43773946)-sin(0.43765263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905712203940183-0.90574900716817)×R²
    abs(-0.82115909--0.82125496)×3.68032279869368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68032279869368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68032279869368e-05×40589641000000     		ar = 306031.958811474m²