Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24202 / 28038
↖ ↑ ↗
← N 25.135339°
W 47.054443°		 ← 552.95 m → N 25.135339°
W 47.048950°		 →
↑
552.94 m
↓
↑
552.94 m
↓
N 25.130366°
W 47.054443°		 ← 552.97 m →
305 754 m²		 N 25.130366°
W 47.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369300842285156 y=0.427833557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369300842285156 × 216)
    floor (0.369300842285156 × 65536)
    floor (24202.5)     		tx = 24202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427833557128906 × 216)
    floor (0.427833557128906 × 65536)
    floor (28038.5)     		ty = 28038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24202 / 28038 ti = "16/24202/28038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24202/28038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24202 ÷ 216
    24202 ÷ 65536     		x = 0.369293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28038 ÷ 216
    28038 ÷ 65536     		y = 0.427825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.26141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82125496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427825927734375 × 2 - 1) × π
    0.14434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.453483070405731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82125496} λ = -0.82125496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453483070405731))-π/2
    2×atan(1.57378425151385)-π/2
    2×1.00474537560982-π/2
    2.00949075121964-1.57079632675     		φ = 0.43869442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82125496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43869442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.135339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24202 KachelY 28038 -0.82125496 0.43869442 -47.054443 25.135339
    Oben rechts KachelX + 1 24203 KachelY 28038 -0.82115909 0.43869442 -47.048950 25.135339
    Unten links KachelX 24202 KachelY + 1 28039 -0.82125496 0.43860763 -47.054443 25.130366
    Unten rechts KachelX + 1 24203 KachelY + 1 28039 -0.82115909 0.43860763 -47.048950 25.130366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43869442-0.43860763) × R
    8.67899999999477e-05 × 6371000     		dl = 552.939089999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43869442-0.43860763) × R
    8.67899999999477e-05 × 6371000     		dr = 552.939089999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82125496--0.82115909) × cos(0.43869442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905306990016583 × 6371000     		do = 552.950437597629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82125496--0.82115909) × cos(0.43860763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905343851343042 × 6371000     		du = 552.972952045016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43869442)-sin(0.43860763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905306990016583-0.905343851343042)×R²
    abs(-0.82115909--0.82125496)×3.68613264590811e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68613264590811e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68613264590811e-05×40589641000000     		ar = 305754.136531046m²