Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24201 / 28051
↖ ↑ ↗
← N 25.070673°
W 47.059937°		 ← 553.30 m → N 25.070673°
W 47.054443°		 →
↑
553.26 m
↓
↑
553.26 m
↓
N 25.065697°
W 47.059937°		 ← 553.32 m →
306 124 m²		 N 25.065697°
W 47.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369285583496094 y=0.428031921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369285583496094 × 216)
    floor (0.369285583496094 × 65536)
    floor (24201.5)     		tx = 24201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428031921386719 × 216)
    floor (0.428031921386719 × 65536)
    floor (28051.5)     		ty = 28051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24201 / 28051 ti = "16/24201/28051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24201/28051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24201 ÷ 216
    24201 ÷ 65536     		x = 0.369277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28051 ÷ 216
    28051 ÷ 65536     		y = 0.428024291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.261444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82135084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428024291992188 × 2 - 1) × π
    0.143951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.45223671101561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82135084} λ = -0.82135084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45223671101561))-π/2
    2×atan(1.57182397259373)-π/2
    2×1.00418105743466-π/2
    2.00836211486932-1.57079632675     		φ = 0.43756579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82135084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.059937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43756579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.070673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24201 KachelY 28051 -0.82135084 0.43756579 -47.059937 25.070673
    Oben rechts KachelX + 1 24202 KachelY 28051 -0.82125496 0.43756579 -47.054443 25.070673
    Unten links KachelX 24201 KachelY + 1 28052 -0.82135084 0.43747895 -47.059937 25.065697
    Unten rechts KachelX + 1 24202 KachelY + 1 28052 -0.82125496 0.43747895 -47.054443 25.065697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43756579-0.43747895) × R
    8.68400000000324e-05 × 6371000     		dl = 553.257640000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43756579-0.43747895) × R
    8.68400000000324e-05 × 6371000     		dr = 553.257640000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82135084--0.82125496) × cos(0.43756579) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.905785807804667 × 6371000     		do = 553.300601260755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82135084--0.82125496) × cos(0.43747895) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.905822601610466 × 6371000     		du = 553.323076811481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43756579)-sin(0.43747895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905785807804667-0.905822601610466)×R²
    abs(-0.82125496--0.82135084)×3.67938057983519e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.67938057983519e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.67938057983519e-05×40589641000000     		ar = 306124.002441873m²