Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2420 / 1878
↖ ↑ ↗
← N 14.774883°
E 32.695312°		 ← 9 449.85 m → N 14.774883°
E 32.783203°		 →
↑
9 451.70 m
↓
↑
9 451.70 m
↓
N 14.689882°
E 32.695312°		 ← 9 453.53 m →
89 334 518 m²		 N 14.689882°
E 32.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5909423828125 y=0.4586181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5909423828125 × 212)
    floor (0.5909423828125 × 4096)
    floor (2420.5)     		tx = 2420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4586181640625 × 212)
    floor (0.4586181640625 × 4096)
    floor (1878.5)     		ty = 1878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2420 / 1878 ti = "12/2420/1878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2420/1878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2420 ÷ 212
    2420 ÷ 4096     		x = 0.5908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1878 ÷ 212
    1878 ÷ 4096     		y = 0.45849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    0.0830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.260776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57064085} λ = 0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.260776733933105))-π/2
    2×atan(1.29793784760334)-π/2
    2×0.914333336560855-π/2
    1.82866667312171-1.57079632675     		φ = 0.25787035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25787035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.774883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2420 KachelY 1878 0.57064085 0.25787035 32.695312 14.774883
    Oben rechts KachelX + 1 2421 KachelY 1878 0.57217483 0.25787035 32.783203 14.774883
    Unten links KachelX 2420 KachelY + 1 1879 0.57064085 0.25638680 32.695312 14.689882
    Unten rechts KachelX + 1 2421 KachelY + 1 1879 0.57217483 0.25638680 32.783203 14.689882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25787035-0.25638680) × R
    0.00148355 × 6371000     		dl = 9451.69705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25787035-0.25638680) × R
    0.00148355 × 6371000     		dr = 9451.69705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57064085-0.57217483) × cos(0.25787035) × R
    0.00153398000000005 × 0.966935277831868 × 6371000     		do = 9449.8454939797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57064085-0.57217483) × cos(0.25638680) × R
    0.00153398000000005 × 0.967312551356243 × 6371000     		du = 9453.53258307041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25787035)-sin(0.25638680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966935277831868-0.967312551356243)×R²
    abs(0.57217483-0.57064085)×0.000377273524375887×R²
    0.00153398000000005×0.000377273524375887×6371000²
    0.00153398000000005×0.000377273524375887×40589641000000     		ar = 89334517.7877921m²