Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 242 / 99
↖ ↑ ↗
← N 73.428424°
W  9.843750°		 ← 22.299 km → N 73.428424°
W  9.140625°		 →
↑
22.431 km
↓
↑
22.431 km
↓
N 73.226700°
W  9.843750°		 ← 22.563 km →
503.142 km²		 N 73.226700°
W  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4736328125 y=0.1943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4736328125 × 29)
    floor (0.4736328125 × 512)
    floor (242.5)     		tx = 242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1943359375 × 29)
    floor (0.1943359375 × 512)
    floor (99.5)     		ty = 99
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 242 / 99 ti = "9/242/99"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/242/99.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 242 ÷ 29
    242 ÷ 512     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99 ÷ 29
    99 ÷ 512     		y = 0.193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193359375 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9266798695293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9266798695293))-π/2
    2×atan(6.86667409916354)-π/2
    2×1.42618204193254-π/2
    2.85236408386507-1.57079632675     		φ = 1.28156776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28156776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.428424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 242 KachelY 99 -0.17180585 1.28156776 -9.843750 73.428424
    Oben rechts KachelX + 1 243 KachelY 99 -0.15953400 1.28156776 -9.140625 73.428424
    Unten links KachelX 242 KachelY + 1 100 -0.17180585 1.27804701 -9.843750 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 243 KachelY + 1 100 -0.15953400 1.27804701 -9.140625 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28156776-1.27804701) × R
    0.00352074999999985 × 6371000     		dl = 22430.698249999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28156776-1.27804701) × R
    0.00352074999999985 × 6371000     		dr = 22430.698249999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.15953400) × cos(1.28156776) × R
    0.01227185 × 0.285212918947603 × 6371000     		do = 22299.0744054555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.15953400) × cos(1.27804701) × R
    0.01227185 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 22562.7684138352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28156776)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285212918947603-0.288585657047466)×R²
    abs(-0.15953400--0.17180585)×0.00337273809986294×R²
    0.01227185×0.00337273809986294×6371000²
    0.01227185×0.00337273809986294×40589641000000     		ar = 503141749.341374m²