Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24198 / 28057
↖ ↑ ↗
← N 25.040816°
W 47.076416°		 ← 553.38 m → N 25.040816°
W 47.070923°		 →
↑
553.45 m
↓
↑
553.45 m
↓
N 25.035838°
W 47.076416°		 ← 553.40 m →
306 272 m²		 N 25.035838°
W 47.070923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369239807128906 y=0.428123474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369239807128906 × 216)
    floor (0.369239807128906 × 65536)
    floor (24198.5)     		tx = 24198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428123474121094 × 216)
    floor (0.428123474121094 × 65536)
    floor (28057.5)     		ty = 28057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24198 / 28057 ti = "16/24198/28057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24198/28057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24198 ÷ 216
    24198 ÷ 65536     		x = 0.369232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28057 ÷ 216
    28057 ÷ 65536     		y = 0.428115844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.26153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82163846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428115844726562 × 2 - 1) × π
    0.143768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.451661468220169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82163846} λ = -0.82163846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451661468220169))-π/2
    2×atan(1.57092005218957)-π/2
    2×1.00392050231214-π/2
    2.00784100462429-1.57079632675     		φ = 0.43704468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82163846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.076416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43704468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.040816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24198 KachelY 28057 -0.82163846 0.43704468 -47.076416 25.040816
    Oben rechts KachelX + 1 24199 KachelY 28057 -0.82154259 0.43704468 -47.070923 25.040816
    Unten links KachelX 24198 KachelY + 1 28058 -0.82163846 0.43695781 -47.076416 25.035838
    Unten rechts KachelX + 1 24199 KachelY + 1 28058 -0.82154259 0.43695781 -47.070923 25.035838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43704468-0.43695781) × R
    8.68700000000167e-05 × 6371000     		dl = 553.448770000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43704468-0.43695781) × R
    8.68700000000167e-05 × 6371000     		dr = 553.448770000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82163846--0.82154259) × cos(0.43704468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906006497797731 × 6371000     		do = 553.377688395374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82163846--0.82154259) × cos(0.43695781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906043263303556 × 6371000     		du = 553.40014431669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43704468)-sin(0.43695781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906006497797731-0.906043263303556)×R²
    abs(-0.82154259--0.82163846)×3.67655058248761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67655058248761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67655058248761e-05×40589641000000     		ar = 306272.415281493m²