Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24198 / 28046
↖ ↑ ↗
← N 25.095549°
W 47.076416°		 ← 553.13 m → N 25.095549°
W 47.070923°		 →
↑
553.19 m
↓
↑
553.19 m
↓
N 25.090574°
W 47.076416°		 ← 553.15 m →
305 995 m²		 N 25.090574°
W 47.070923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369239807128906 y=0.427955627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369239807128906 × 216)
    floor (0.369239807128906 × 65536)
    floor (24198.5)     		tx = 24198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427955627441406 × 216)
    floor (0.427955627441406 × 65536)
    floor (28046.5)     		ty = 28046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24198 / 28046 ti = "16/24198/28046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24198/28046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24198 ÷ 216
    24198 ÷ 65536     		x = 0.369232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28046 ÷ 216
    28046 ÷ 65536     		y = 0.427947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.26153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82163846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427947998046875 × 2 - 1) × π
    0.14410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.45271608001181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82163846} λ = -0.82163846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45271608001181))-π/2
    2×atan(1.5725776369009)-π/2
    2×1.00439813819666-π/2
    2.00879627639333-1.57079632675     		φ = 0.43799995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82163846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.076416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43799995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.095549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24198 KachelY 28046 -0.82163846 0.43799995 -47.076416 25.095549
    Oben rechts KachelX + 1 24199 KachelY 28046 -0.82154259 0.43799995 -47.070923 25.095549
    Unten links KachelX 24198 KachelY + 1 28047 -0.82163846 0.43791312 -47.076416 25.090574
    Unten rechts KachelX + 1 24199 KachelY + 1 28047 -0.82154259 0.43791312 -47.070923 25.090574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43799995-0.43791312) × R
    8.68300000000377e-05 × 6371000     		dl = 553.19393000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43799995-0.43791312) × R
    8.68300000000377e-05 × 6371000     		dr = 553.19393000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82163846--0.82154259) × cos(0.43799995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905601753285907 × 6371000     		do = 553.130475397577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82163846--0.82154259) × cos(0.43791312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905638576998774 × 6371000     		du = 553.152966871043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43799995)-sin(0.43791312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905601753285907-0.905638576998774)×R²
    abs(-0.82154259--0.82163846)×3.68237128669513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68237128669513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68237128669513e-05×40589641000000     		ar = 305994.64275363m²