Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24181 / 25411
↖ ↑ ↗
← S 69.911441°
E 85.660401°		 ← 419.58 m → S 69.911441°
E 85.671387°		 →
↑
419.59 m
↓
↑
419.59 m
↓
S 69.915214°
E 85.660401°		 ← 419.50 m →
176 036 m²		 S 69.915214°
E 85.671387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737960815429688 y=0.775497436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737960815429688 × 215)
    floor (0.737960815429688 × 32768)
    floor (24181.5)     		tx = 24181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775497436523438 × 215)
    floor (0.775497436523438 × 32768)
    floor (25411.5)     		ty = 25411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24181 / 25411 ti = "15/24181/25411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24181/25411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24181 ÷ 215
    24181 ÷ 32768     		x = 0.737945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25411 ÷ 215
    25411 ÷ 32768     		y = 0.775482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737945556640625 × 2 - 1) × π
    0.47589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.49505603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.55096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73090557148099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49505603} λ = 1.49505603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73090557148099))-π/2
    2×atan(0.177123938934148)-π/2
    2×0.175305746714063-π/2
    0.350611493428127-1.57079632675     		φ = -1.22018483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49505603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.660401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22018483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.911441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24181 KachelY 25411 1.49505603 -1.22018483 85.660401 -69.911441
    Oben rechts KachelX + 1 24182 KachelY 25411 1.49524777 -1.22018483 85.671387 -69.911441
    Unten links KachelX 24181 KachelY + 1 25412 1.49505603 -1.22025069 85.660401 -69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 24182 KachelY + 1 25412 1.49524777 -1.22025069 85.671387 -69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22018483--1.22025069) × R
    6.58600000000842e-05 × 6371000     		dl = 419.594060000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22018483--1.22025069) × R
    6.58600000000842e-05 × 6371000     		dr = 419.594060000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49505603-1.49524777) × cos(-1.22018483) × R
    0.000191739999999996 × 0.343472166713172 × 6371000     		do = 419.577197527604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49505603-1.49524777) × cos(-1.22025069) × R
    0.000191739999999996 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 419.501638181222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22018483)-sin(-1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343472166713172-0.343410312702587)×R²
    abs(1.49524777-1.49505603)×6.18540105847276e-05×R²
    0.000191739999999996×6.18540105847276e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.18540105847276e-05×40589641000000     		ar = 176036.24773173m²