Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24172 / 25472
↖ ↑ ↗
← S 70.140365°
E 85.561524°		 ← 414.99 m → S 70.140365°
E 85.572510°		 →
↑
414.94 m
↓
↑
414.94 m
↓
S 70.144096°
E 85.561524°		 ← 414.92 m →
172 182 m²		 S 70.144096°
E 85.572510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737686157226562 y=0.777359008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737686157226562 × 215)
    floor (0.737686157226562 × 32768)
    floor (24172.5)     		tx = 24172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777359008789062 × 215)
    floor (0.777359008789062 × 32768)
    floor (25472.5)     		ty = 25472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24172 / 25472 ti = "15/24172/25472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24172/25472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24172 ÷ 215
    24172 ÷ 32768     		x = 0.7376708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25472 ÷ 215
    25472 ÷ 32768     		y = 0.77734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7376708984375 × 2 - 1) × π
    0.475341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.49333030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77734375 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49333030} λ = 1.49333030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74260217498828))-π/2
    2×atan(0.175064259557396)-π/2
    2×0.173308015857985-π/2
    0.34661603171597-1.57079632675     		φ = -1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49333030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.561524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24172 KachelY 25472 1.49333030 -1.22418030 85.561524 -70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 24173 KachelY 25472 1.49352204 -1.22418030 85.572510 -70.140365
    Unten links KachelX 24172 KachelY + 1 25473 1.49333030 -1.22424543 85.561524 -70.144096
    Unten rechts KachelX + 1 24173 KachelY + 1 25473 1.49352204 -1.22424543 85.572510 -70.144096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22418030--1.22424543) × R
    6.51300000000798e-05 × 6371000     		dl = 414.943230000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22418030--1.22424543) × R
    6.51300000000798e-05 × 6371000     		dr = 414.943230000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49333030-1.49352204) × cos(-1.22418030) × R
    0.000191739999999996 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 414.990024295793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49333030-1.49352204) × cos(-1.22424543) × R
    0.000191739999999996 × 0.339655780836988 × 6371000     		du = 414.915193890057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22418030)-sin(-1.22424543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339655780836988)×R²
    abs(1.49352204-1.49333030)×6.12572888750718e-05×R²
    0.000191739999999996×6.12572888750718e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.12572888750718e-05×40589641000000     		ar = 172181.775975379m²