Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24170 / 25470
↖ ↑ ↗
← S 70.132898°
E 85.539551°		 ← 415.16 m → S 70.132898°
E 85.550537°		 →
↑
415.13 m
↓
↑
415.13 m
↓
S 70.136632°
E 85.539551°		 ← 415.09 m →
172 332 m²		 S 70.136632°
E 85.550537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737625122070312 y=0.777297973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737625122070312 × 215)
    floor (0.737625122070312 × 32768)
    floor (24170.5)     		tx = 24170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777297973632812 × 215)
    floor (0.777297973632812 × 32768)
    floor (25470.5)     		ty = 25470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24170 / 25470 ti = "15/24170/25470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24170/25470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24170 ÷ 215
    24170 ÷ 32768     		x = 0.73760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25470 ÷ 215
    25470 ÷ 32768     		y = 0.77728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73760986328125 × 2 - 1) × π
    0.4752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.49294680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74221867979132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49294680} λ = 1.49294680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74221867979132))-π/2
    2×atan(0.175131408734966)-π/2
    2×0.173373167533914-π/2
    0.346746335067829-1.57079632675     		φ = -1.22404999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49294680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.539551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22404999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.132898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24170 KachelY 25470 1.49294680 -1.22404999 85.539551 -70.132898
    Oben rechts KachelX + 1 24171 KachelY 25470 1.49313855 -1.22404999 85.550537 -70.132898
    Unten links KachelX 24170 KachelY + 1 25471 1.49294680 -1.22411515 85.539551 -70.136632
    Unten rechts KachelX + 1 24171 KachelY + 1 25471 1.49313855 -1.22411515 85.550537 -70.136632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22404999--1.22411515) × R
    6.51600000001196e-05 × 6371000     		dl = 415.134360000762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22404999--1.22411515) × R
    6.51600000001196e-05 × 6371000     		dr = 415.134360000762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49294680-1.49313855) × cos(-1.22404999) × R
    0.000191750000000157 × 0.33983959540437 × 6371000     		do = 415.161388450439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49294680-1.49313855) × cos(-1.22411515) × R
    0.000191750000000157 × 0.339778312783798 × 6371000     		du = 415.086523195805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22404999)-sin(-1.22411515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33983959540437-0.339778312783798)×R²
    abs(1.49313855-1.49294680)×6.12826205722561e-05×R²
    0.000191750000000157×6.12826205722561e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.12826205722561e-05×40589641000000     		ar = 172332.217782757m²