Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2417 / 1873
↖ ↑ ↗
← N 15.199386°
E 32.431641°		 ← 9 431.12 m → N 15.199386°
E 32.519531°		 →
↑
9 433.03 m
↓
↑
9 433.03 m
↓
N 15.114553°
E 32.431641°		 ← 9 434.90 m →
88 981 906 m²		 N 15.114553°
E 32.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5902099609375 y=0.4573974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5902099609375 × 212)
    floor (0.5902099609375 × 4096)
    floor (2417.5)     		tx = 2417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4573974609375 × 212)
    floor (0.4573974609375 × 4096)
    floor (1873.5)     		ty = 1873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2417 / 1873 ti = "12/2417/1873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2417/1873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2417 ÷ 212
    2417 ÷ 4096     		x = 0.590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1873 ÷ 212
    1873 ÷ 4096     		y = 0.457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    0.08544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.268446637872314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56603891} λ = 0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268446637872314))-π/2
    2×atan(1.30793118117767)-π/2
    2×0.918037828808277-π/2
    1.83607565761655-1.57079632675     		φ = 0.26527933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26527933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.199386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2417 KachelY 1873 0.56603891 0.26527933 32.431641 15.199386
    Oben rechts KachelX + 1 2418 KachelY 1873 0.56757289 0.26527933 32.519531 15.199386
    Unten links KachelX 2417 KachelY + 1 1874 0.56603891 0.26379871 32.431641 15.114553
    Unten rechts KachelX + 1 2418 KachelY + 1 1874 0.56757289 0.26379871 32.519531 15.114553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26527933-0.26379871) × R
    0.00148061999999999 × 6371000     		dl = 9433.03001999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26527933-0.26379871) × R
    0.00148061999999999 × 6371000     		dr = 9433.03001999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56603891-0.56757289) × cos(0.26527933) × R
    0.00153398000000005 × 0.965019304115618 × 6371000     		do = 9431.12070856316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56603891-0.56757289) × cos(0.26379871) × R
    0.00153398000000005 × 0.965406433429109 × 6371000     		du = 9434.90411814863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26527933)-sin(0.26379871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965019304115618-0.965406433429109)×R²
    abs(0.56757289-0.56603891)×0.000387129313490719×R²
    0.00153398000000005×0.000387129313490719×6371000²
    0.00153398000000005×0.000387129313490719×40589641000000     		ar = 88981905.5299945m²