Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2417 / 1775
↖ ↑ ↗
← N 23.322080°
E 32.431641°		 ← 8 974.47 m → N 23.322080°
E 32.519531°		 →
↑
8 977.18 m
↓
↑
8 977.18 m
↓
N 23.241346°
E 32.431641°		 ← 8 979.92 m →
80 589 956 m²		 N 23.241346°
E 32.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5902099609375 y=0.4334716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5902099609375 × 212)
    floor (0.5902099609375 × 4096)
    floor (2417.5)     		tx = 2417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4334716796875 × 212)
    floor (0.4334716796875 × 4096)
    floor (1775.5)     		ty = 1775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2417 / 1775 ti = "12/2417/1775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2417/1775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2417 ÷ 212
    2417 ÷ 4096     		x = 0.590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1775 ÷ 212
    1775 ÷ 4096     		y = 0.433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56603891} λ = 0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.418776755080811))-π/2
    2×atan(1.52010096209132)-π/2
    2×0.988921705698008-π/2
    1.97784341139602-1.57079632675     		φ = 0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2417 KachelY 1775 0.56603891 0.40704708 32.431641 23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 2418 KachelY 1775 0.56757289 0.40704708 32.519531 23.322080
    Unten links KachelX 2417 KachelY + 1 1776 0.56603891 0.40563801 32.431641 23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 2418 KachelY + 1 1776 0.56757289 0.40563801 32.519531 23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40704708-0.40563801) × R
    0.00140907000000001 × 6371000     		dl = 8977.18497000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40704708-0.40563801) × R
    0.00140907000000001 × 6371000     		dr = 8977.18497000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56603891-0.56757289) × cos(0.40704708) × R
    0.00153398000000005 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 8974.47380521656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56603891-0.56757289) × cos(0.40563801) × R
    0.00153398000000005 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 8979.91675448164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40704708)-sin(0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.91885082221011)×R²
    abs(0.56757289-0.56603891)×0.000556938170386601×R²
    0.00153398000000005×0.000556938170386601×6371000²
    0.00153398000000005×0.000556938170386601×40589641000000     		ar = 80589955.8731496m²